Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $2a$. Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Hình lập phương cạnh $2a$. a) Hai mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$ song song, khoảng cách giữa chúng bằng $BC=2a\ne a$ → Sai. b) $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ là mặt phẳng đường chéo, $BD\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ tại $O$ (tâm), $d(B,(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }))=\frac{BD}{2}=\frac{2a\sqrt{2}}{2}=a\sqrt{2}$ → Đúng. c) $B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$, $CD\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ nên $CD\perp B{B}^{\prime }$; khoảng cách giữa $B{B}^{\prime }$ và $CD$ bằng $d(C,(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }))=BC=2a\ne 2a\sqrt{2}$ → Sai. d) $AD\parallel BC$ nên $d(AD,A^{\prime }C)=d(A,(A^{\prime }BC))$. Chọn hệ trục $A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2a,2a,0),A^{\prime }(0,0,2a)$: mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$ có phương trình $x+z=2a$, khoảng cách từ $A$ là $\frac{2a}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách giữa $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$ bằng $BC=2a$, không phải $a$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$BD\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ tại tâm $O$, khoảng cách bằng $BD/2=a\sqrt{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách giữa $B{B}^{\prime }$ và $CD$ bằng $BC=2a$, không phải $2a\sqrt{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AD\parallel BC$ nên $d(AD,A^{\prime }C)=d(A,(A^{\prime }BC))=a\sqrt{2}$ (tọa độ: mặt phẳng $x+z=2a$, khoảng cách từ $A$ là $2a/\sqrt{2}=a\sqrt{2}$).