Một vật có phương trình chuyển động là $s(t)=t^3+3t^2+2t+1$, trong đó $t>0$ và tính bằng giây, $s$ là quãng đường chuyển động được của vật trong $t$ giây và tính bằng mét. Tìm vận tốc của vật tại thời điểm gia tốc của vật bằng $12m/{\mathrm{s}}^2$.

Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t)=-t^3+18t^2+t+3$, trong đó $t$ tính bằng giây và $s$ tính bằng mét. Chất điểm có vận tốc tức thời $v(t)=s^{\prime }(t)$ bao nhiêu m/s tại thời điểm t = 1 giây?

Dân số của một đô thị $A$ mới thành lập từ đầu năm 2025 được dự báo theo hàm số: $f(t)=\frac{120t+200}{t+5}$. Trong đó, $f(t)$ là số dân (đơn vị: nghìn người) và $t$ là số năm tính từ đầu năm 2025 ($t=0$ tương ứng với đầu năm 2025). Đặt $v\left(t_0\right)=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{f\left(t\right)-f\left(t_0\right)}{t-t_0}$, $t_0\ge 0$. Khi đó ta gọi $v\left(t_0\right)$ là tốc độ tăng dân số của đô thị $A$ tại thời điểm $t_0$, đơn vị tính của $v\left(t_0\right)$ là nghìn người/năm.

Phương trình của một chuyển động thẳng là $S(t)=t^3-2t^2+4t+1$ quãng đường S(t) tính bằng km sau t giờ. Hiện đang là 2 giờ sáng. Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm kim giờ và kim phút vuông góc với nhau lần thứ nhất.

Một vật chuyển động trên đường được xác định bởi công thức $s(t)=t^3-3t^2+7t-2$, trong đó $t>0$ và tính bằng giây và $s$ là quãng đường chuyển động được của vật trong $t$ giây tính bằng mét.

Một vật chuyển động rơi tự do có phương trình $h(t)=10-4,9t^2$, ở đó độ cao $h$ so với mặt đất tính bằng mét và thời gian $t$ tính bằng giây. Tính vận tốc của vật tại thời điểm vật chạm đất.

Một vật chuyển động có phương trình quãng đường là: $s=-\frac{1}{3}{t}^3+2t^2+ct$, với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và $s$ (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó, $c$ là tham số thực. Biết sau 3 giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vật đi được quãng đường 27 mét.

a) Tìm giá trị của tham số $c$.

b) Quãng đường vật đi được tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động đến lúc vật đạt vận tốc lớn nhất là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?