Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $I,J,K$ lần lượt là tâm các hình bình hành $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$, $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$, $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$.
1. Chứng minh: $IJ\parallel (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$; $JK\parallel (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$; $IK\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$.
2. Chứng minh ba đường thẳng $AJ,CK,BI$ đồng quy tại 1 điểm $O$.
3. Chứng minh $(IJK)\parallel (ABC)$.
4. Gọi $G,G^{\prime }$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Chứng minh $O,G,G^{\prime }$ thẳng hàng.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 22. Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{v}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{w}$. Khi đó $B=A+\vec{u}$, $C=A+\vec{v}$, $A^{\prime }=A+\vec{w}$, $B^{\prime }=A+\vec{u}+\vec{w}$, $C^{\prime }=A+\vec{v}+\vec{w}$.

Câu 1) Tâm hình bình hành là giao điểm hai đường chéo, nên:
- $I$ là trung điểm $A{C}^{\prime }$ (đường chéo của $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$);
- $J$ là trung điểm $B{C}^{\prime }$ (đường chéo của $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$);
- $K$ là trung điểm $A{B}^{\prime }$ (đường chéo của $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$).

Trong tam giác $AB{C}^{\prime }$: $I$ là trung điểm $A{C}^{\prime }$, $J$ là trung điểm $B{C}^{\prime }$ nên $IJ$ là đường trung bình, do đó $IJ\parallel AB$. Vì $AB\subset (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ nên $IJ\parallel (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$.

Trong tam giác $AB{C}^{\prime }$: $I$ trung điểm $A{C}^{\prime }$, $K$ trung điểm $A{B}^{\prime }$ nên $IK\parallel CB$. Vì $CB\subset (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ nên $IK\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$.

Trong tam giác $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$: $J$ trung điểm $B{C}^{\prime }$, $K$ trung điểm $A{B}^{\prime }$ nên $JK\parallel AC$. Vì $AC\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ nên $JK\parallel (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$.

Kiểm tra bằng vectơ: $\overrightarrow{IJ}=\frac{\vec{u}}{2}\parallel \overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{JK}=-\frac{\vec{v}}{2}\parallel \overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{IK}=\frac{\vec{u}-\vec{v}}{2}\parallel \overrightarrow{CB}$ — khớp hoàn toàn.

Câu 2) Xét tam giác $A{B}^{\prime }C$:
- $I$ là trung điểm $A{C}^{\prime }$ nên $BI$ là đường trung tuyến;
- $K$ là trung điểm $A{B}^{\prime }$ nên $CK$ là đường trung tuyến;
- $J$ là trung điểm $B{C}^{\prime }$ nên $AJ$ là đường trung tuyến.

Hai trung tuyến $BI$ và $CK$ cắt nhau tại trọng tâm $O$ của tam giác $A{B}^{\prime }C$; trung tuyến thứ ba $AJ$ cũng đi qua trọng tâm đó. Vậy $AJ,CK,BI$ đồng quy tại $O$ — trọng tâm tam giác $A{B}^{\prime }C$.

Kiểm tra: $\overrightarrow{AO}=\frac{\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{AC}}{3}=\frac{\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}}{3}$, thỏa mãn cả ba đường thẳng $AJ,CK,BI$.

Câu 3) Theo câu 1: $IJ\parallel AB\subset (ABC)$ và $IK\parallel CB\subset (ABC)$, trong đó $IJ\cap IK=I$ và $IJ,IK\subset (IJK)$. Hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $(IJK)$ lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau trong $(ABC)$, nên $(IJK)\parallel (ABC)$.

Câu 4) Ta có:
- $\overrightarrow{AG}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}=\frac{\vec{u}+\vec{v}}{3}$.
- $\overrightarrow{A{G}^{\prime }}=\frac{\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A{C}^{\prime }}}{3}=\frac{\vec{w}+(\vec{u}+\vec{w})+(\vec{v}+\vec{w})}{3}=\frac{\vec{u}+\vec{v}+3\vec{w}}{3}=\overrightarrow{AG}+\vec{w}$, suy ra $\overrightarrow{G{G}^{\prime }}=\vec{w}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.
- $\overrightarrow{AO}=\frac{\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}}{3}=\overrightarrow{AG}+\frac{1}{3}\vec{w}$, suy ra $\overrightarrow{GO}=\frac{1}{3}\vec{w}=\frac{1}{3}\overrightarrow{G{G}^{\prime }}$.

Vậy $\overrightarrow{GO}$ cùng phương với $\overrightarrow{G{G}^{\prime }}$, tức $O,G,G^{\prime }$ thẳng hàng, với $O$ nằm giữa $G$ và $G^{\prime }$ và $GO=\frac{1}{3}G{G}^{\prime }$ (tức $GO:O{G}^{\prime }=1:2$).