Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=a,BC=a\sqrt{3},A{A}^{\prime }=a\sqrt{2}$. Gọi $\phi$ là góc giữa đường thẳng $A{C}^{\prime }$ và mặt phẳng $(ABCD)$. Khi đó giá trị của $\cos \phi$ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $AB=a$, $BC=a\sqrt{3}$, $A{A}^{\prime }=a\sqrt{2}$. Hình chiếu của $A{C}^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là $AC$, nên góc giữa $A{C}^{\prime }$ và $(ABCD)$ là $\phi =\widehat{C^{\prime }AC}$.

Ta có $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$ và $A{C}^{\prime }=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2+A{A}^{\prime 2}}=\sqrt{a^2+3a^2+2a^2}=\sqrt{6}a$.

Trong tam giác vuông $AC{C}^{\prime }$ (vuông tại $A$ vì $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$):
$$\cos \phi =\frac{AC}{A{C}^{\prime }}=\frac{2a}{\sqrt{6}a}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\approx 0,8165\approx 0,82.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,82.