Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $B{B}^{\prime },BC$ và $CD$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;b;0)$, $D(0;b;0)$, $A^{\prime }(0;0;c)$, $B^{\prime }(a;0;c)$, $C^{\prime }(a;b;c)$, $D^{\prime }(0;b;c)$. Khi đó $M(a;0;c/2)$, $N(a;b/2;0)$, $P(a/2;b;0)$.

a) $\overrightarrow{NP}=(-a/2;b/2;0)$ và $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=(-a;b;0)$ nên $\overrightarrow{NP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$: $NP\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$. Đúng.

b) Mặt phẳng $(AB{D}^{\prime })$ có VTCP pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{A{D}^{\prime }}=(0;-ac;ab)$. Mặt phẳng $(MNP)$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{NP}=\frac{1}{4}(bc;ac;ab)$. Vì $\overrightarrow{n_2}$ có thành phần thứ nhất $bc/4\ne 0$ nên $\overrightarrow{n_2}$ không cùng phương với $\overrightarrow{n_1}$, hai mặt phẳng không song song (chúng cắt nhau). Sai.

c) Điểm trên $MN$: $(a;tb/2;c(1-t)/2)$, điểm trên $A^{\prime }C$: $(sa;sb;c(1-s))$. So sánh hoành độ: $s=1$; khi đó $tb/2=b\Rightarrow t=2$, nhưng khi đó tung độ cao trên $MN$ là $c(1-2)/2=-c/2\ne 0=c(1-s)$. Hệ vô nghiệm: hai đường thẳng không có điểm chung, không đồng phẳng, vậy $MN$ và $A^{\prime }C$ chéo nhau, không cắt nhau. Sai.

d) $\overrightarrow{B^{\prime }C}=(0;b;-c)$. Tích vô hướng với pháp tuyến của $(MNP)$: $\frac{1}{4}(bc\cdot 0+ac\cdot b+ab\cdot (-c))=0$, nên $\overrightarrow{B^{\prime }C}\perp \overrightarrow{n_2}$. Mặt khác $B^{\prime }\notin (MNP)$ vì thay $B^{\prime }(a;0;c)$ vào phương trình mặt phẳng $(MNP)$: $bc(x-a)+acy+ab(z-c/2)=0$ cho $abc/2\ne 0$. Vậy $B^{\prime }C\parallel (MNP)$. Đúng.

So sánh với đáp án nguồn (mã đề 101: 1a Đ, 1b S, 1c S, 1d Đ): khớp hoàn toàn.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{NP}=(-a/2;b/2;0)=\frac{1}{2}\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$ nên $NP\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của $(AB{D}^{\prime })$ là $(0;-ac;ab)$, của $(MNP)$ là $\frac{1}{4}(bc;ac;ab)$, không cùng phương nên hai mặt phẳng không song song.
c) (AI giải đề cho tôi)
Điểm trên $MN$: $(a;tb/2;c(1-t)/2)$, điểm trên $A^{\prime }C$: $(sa;sb;c(1-s))$. So sánh hoành độ cho $s=1$, khi đó $tb/2=b\Rightarrow t=2$ nhưng khi đó tung độ cao là $c(1-2)/2=-c/2\ne 0=c(1-s)$. Hệ vô nghiệm, hai đường thẳng không có điểm chung và không đồng phẳng, vậy $MN$ và $A^{\prime }C$ chéo nhau. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{B^{\prime }C}=(0;b;-c)$ vuông góc với pháp tuyến $\frac{1}{4}(bc;ac;ab)$ của $(MNP)$ và $B^{\prime }\notin (MNP)$ nên $B^{\prime }C\parallel (MNP)$.