Biết $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+2n}-\sqrt{n^2+5n+1}\right)=\frac{a}{b}$; trong đó $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản, $a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{N}$. Tính giá trị của biểu thức $3a-4b$.

Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

Biết ${\lim }_{n\to +\infty }\left(\sqrt{n^2+2n}-\sqrt{n^2+5n+1}\right)=\frac{a}{b}$; trong đó $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản, $a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{N}$. Tính giá trị của biểu thức $3a-4b$.

Cho tam giác đều $\Delta A_1{B}_1{C}_1$. Với mỗi $n\ge 1$, từ tam giác đều $\Delta A_n{B}_n{C}_n$ ta dựng tam giác tiếp theo như sau:

- Trên cạnh $A_n{B}_n$ lấy điểm $A_{n+1}$ sao cho $A_n{A}_{n+1}=\frac{1}{3}{A}_n{B}_n$

- Trên cạnh $B_n{C}_n$ lấy $B_{n+1}$ sao cho $B_n{B}_{n+1}=\frac{1}{3}{B}_n{C}_n$

- Trên cạnh $C_n{A}_n$ lấy $C_{n+1}$ sao cho $C_n{C}_{n+1}=\frac{1}{3}{C}_n{A}_n$

Ba điểm $A_{n+1},B_{n+1},C_{n+1}$ là ba đỉnh của tam giác đều tiếp theo.

Gọi diện tích của các tam giác đó lần lượt là $S_1,S_2,\dots ,S_n,\dots$. Biết $\Delta A_1{B}_1{C}_1$ có diện tích bằng $9\sqrt{3}$. Tổng $S_1+S_2+\dots +S_n+\dots =\frac{a\sqrt{b}}{c}$ với $\frac{a}{c}$ là phân số tối giản, $a,b,c\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Tính $a+b+c$.

Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi:
$$\{\begin{array}{l}{a}_1=a\in \mathbb{R},\\ a_{n+1}=a_n+\frac{1-a_n^2}{n{a}_n},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.\end{array}$$
a) Với $a=2$, chứng minh rằng dãy $(a_n)$ có giới hạn hữu hạn.
b) Với $a>0$, chứng minh rằng $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}\ge n$ với mọi $n\ge 2$, $n\in \mathbb{N}$.

Cho biết ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{n^2+6n-2025}{7n^2+4}=\frac{1}{a}$. Giá trị a bằng bao nhiêu?

(0,5 điểm) Một hòn đảo nhân tạo được thiết kế theo hình dạng bông tuyết Koch. Bắt đầu từ một tam giác đều cạnh a = 100 mét. Với quy luật: mỗi cạnh của bước trước được chia làm 3, bỏ đoạn giữa và thay bằng 2 đoạn bằng nó ghép thành một tam giác đều (hướng ra ngoài). Cho biết chi phí để lắp đất và trồng cỏ phủ kín hòn đảo có chi phí là 5 triệu đồng /m². Nếu quá trình xây dựng cứ tiếp diễn mãi mãi, hãy tính tổng chi phí lắp đất và trồng cỏ.