Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, $O$ là tâm của đáy $ABCD$, được gắn vào hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ. Biết cạnh $SA=AB=3\sqrt{2}$ và điểm $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Hệ trục: $B$ trên $Ox$, $C$ trên $Oy$ (theo hình vẽ). Vì $AB=3\sqrt{2}$ nên nửa đường chéo đáy $=\frac{AB\sqrt{2}}{2}=3$, do đó $B(3;0;0)$, $C(0;3;0)$, $A(-3;0;0)$, $D(0;-3;0)$.
Chiều cao: $S{A}^2=O{A}^2+S{O}^2\Rightarrow 18=9+S{O}^2\Rightarrow SO=3$, tức $S(0;0;3)$.
Trọng tâm $G$ của tam giác $SAB$: $G=\left(\frac{0-3+3}{3};\frac{0+0+0}{3};\frac{3+0+0}{3}\right)=(0;0;1)$.

a) $K(0;m;n)\in (Oyz)$. Lấy $B^{\prime }$ đối xứng với $B$ qua $(Oyz)$: $B^{\prime }=A(-3;0;0)$. Khi đó $KG+KB=KG+KA\ge GA$, dấu bằng khi $K$ là giao điểm của $GA$ với $(Oyz)$. Vì $G(0;0;1)$ đã thuộc $(Oyz)$ nên $K\equiv G=(0;0;1)$, tức $m=0,n=1\Rightarrow m^2+n^2=1\ne \frac{9}{8}$. → Sai.

b) $C(0;3;0)\ne (0;6;0)$. → Sai.

c) $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ nên $O$ là trung điểm mỗi đường chéo, do đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}$ (tọa độ: $(-3+3+0+0;0+0+3-3;0)=\vec{0}$). → Đúng.

d) $BG=\sqrt{(3-0{)}^2+0^2+(0-1{)}^2}=\sqrt{10}\ne 6\sqrt{2}$. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
G(0;0;1) thuộc (Oyz), B' đối xứng B qua (Oyz) là A(-3;0;0). KG+KB=KG+KA nhỏ nhất bằng GA khi K=G, khi đó m²+n²=0²+1²=1≠9/8.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nửa đường chéo đáy bằng 3 nên C(0;3;0), không phải (0;6;0).
c) (AI giải đề cho tôi)
O là tâm hình vuông ABCD nên tổng bốn vectơ OA, OB, OC, OD bằng vectơ không.
d) (AI giải đề cho tôi)
G(0;0;1), B(3;0;0) nên BG=√(9+1)=√10 ≠ 6√2.