Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông, mặt bên $SAB$ là tam giác vuông cân tại $S$, $SA=a$ và mặt phẳng $(SAB)$ vuông góc mặt đáy. Gọi $H$ là trung điểm $AB$.

a) Chứng minh $SH$ vuông góc mặt phẳng $(ABCD)$.

b) Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABCD)$. Tính $\tan \alpha$.

c) Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Tam giác SAB vuông cân tại S nên SH ⊥ AB. Vì (SAB) ⊥ (ABCD) với giao tuyến AB nên SH ⊥ (ABCD).

b) Đặt AB = x (cạnh đáy). Tam giác SAB vuông cân: x = SA√2 = a√2, do đó SH = x/2 = a√2/2. Vì CD ∥ AB nên CD ⊥ SH và CD ⊥ HB ⇒ CD ⊥ (SHB). Giao tuyến của (SCD) và (ABCD) là CD, nên α = góc giữa SC và HB (cùng vuông góc CD). Vì HB ∥ CD, góc giữa SC và HB bằng góc giữa SC và CD, tức góc SCH (do SH ⊥ (ABCD) nên góc giữa SC và mặt đáy là góc SCH). Tam giác SCH vuông tại H: HC = √(HB² + BC²) = √(a²/2 + 2a²) = a√10/2. Vậy tan α = SH/HC = (a√2/2)/(a√10/2) = √10/5.

Kiểm tra bằng tọa độ: A(0,0,0), B(a√2,0,0), C(a√2,a√2,0), D(0,a√2,0), S(a√2/2,0,a). Mặt phẳng (SCD) qua D với vectơ DC = (a√2,0,0), DS = (a√2/2,−a√2,a): pháp tuyến (0,−a,−a√2) ∼ (0,1,√2), góc với mặt đáy: sin = √2/√3, tan = √2 = ... kiểm tra lại: cos góc giữa hai pháp tuyến (0,0,1) và (0,1,√2) là √2/√3, sin = 1/√3, tan = 1/√2 = √2/2? Cần tính lại: n₁=(0,0,1), n₂=(0,1,√2), cosθ = √2/√3 ⇒ tanθ = (1/√3)/(√2/√3) = 1/√2. Mâu thuẫn với √10/5 = 0.632 vs 0.707. Tính lại HC: H(a√2/2, 0), C(a√2, a√2): HC² = (a√2/2)² + (a√2)² = a²/2 + 2a² = 5a²/2, HC = a√10/2. Góc SCH: tan = SH/HC = (a√2/2)/(a√10/2) = √2/√10 = 1/√5? Tính lại: √2/√10 = √(2/10) = 1/√5 ≈ 0.447. Vẫn khác 1/√2. Xem lại: góc giữa SC và HB: SC ⊥ CD? SC nằm trong (SCD), CD ⊥ (SHB) nên CD ⊥ SC, đúng. Góc giữa hai mặt phẳng = góc giữa SC và HB. HB hướng (1,0,0); SC = C − S = (a√2/2, a√2, −a), cos = (a√2/2)/(a√5/2·... ) |SC| = √(a²/2+2a²+a²) = a√(7/2). cos = (a√2/2)/(a√(7/2)) = √2/√7·(1/√2)·... = (√2/2)/(√(7/2)) = √2/(2·√7/√2) = 2/(2√7) = 1/√7. sin = √(6/7), tan = √6. Hmm ba kết quả khác nhau — cần cẩn thận: góc giữa hai mặt phẳng là góc nhọn giữa chúng, tính qua hai đường vuông góc với giao tuyến CD nằm trong hai mặt phẳng và cắt nhau. Trong (ABCD): HB ⊥ CD. Trong (SCD): đường qua giao điểm... HB và SC không đồng quy. Đường vuông góc chuẩn: từ H trong mặt phẳng (SCD) kẻ đường vuông góc CD — đó không phải SC vì H không thuộc (SCD). Đúng: CD ⊥ (SHB), giao tuyến của (SHB) với (SCD) là SC, với (ABCD) là HB. Góc giữa hai mặt phẳng = góc giữa SC và HB (cùng nằm trong mặt phẳng ⊥ CD, tức (SHB)). SC có nằm trong (SHB)? S ∈ (SHB), C không. Sai! Giao của (SCD) và (SHB) là đường qua S vuông góc CD trong (SCD). Trong (SCD), đường vuông góc CD tại D (hoặc C): vì CD ⊥ (SHB) ⊂ chứa SH, và SH ⊥ mọi đường của mặt đáy... Thực chất: góc giữa SC và mặt (ABCD) là góc SCH (SH là đường cao). Góc giữa (SCD) và (ABCD): dùng pháp tuyến như tính tọa độ: tan α = 1/√2 = √2/2. Kiểm tra lại pháp tuyến (SCD): DC = (a√2, 0, 0), DS = (a√2/2, −a√2, a). DC × DS = (0·a − 0·(−a√2), 0·(a√2/2) − a√2·a, a√2·(−a√2) − 0) = (0, −a²√2, −2a²) ∼ (0, 1, √2). Đúng. Góc giữa (0,1,√2) và (0,0,1): cos = √2/√3, tan = 1/√2 = √2/2. Vậy tan α = √2/2. Lỗi ở lập luận góc SCH: góc giữa SC và mặt đáy là góc SCH với tan = SH/HC = 1/√5; góc giữa mặt phẳng (SCD) và đáy ≠ góc giữa SC và đáy vì SC không vuông góc giao tuyến CD. Đường vuông góc đúng: trong (SCD), từ C kẻ CK ⊥ CD, K... thực tế CD ⊥ (SHB) nên đường trong (SCD) vuông góc CD tại C là đường CB'... Vì CD ⊥ (SHB), giao tuyến (SCD)∩(SHB) là đường thẳng qua S vuông góc CD; gọi nó là Sm với m = giao của (SHB) và... Đơn giản: góc = góc giữa SH' ... Kết quả tin cậy từ tọa độ: tan α = √2/2. Giải thích hình học: CD ⊥ (SHB) ⇒ (SCD) ∩ (SHB) = Sx với x trên CD, góc giữa (SCD),(ABCD) = góc giữa Sx và HB. Vì SH ⊥ (ABCD), hình chiếu của Sx lên đáy là đường qua H vuông góc CD, tức HB. Tam giác vuông tại H với Sx: tan α = SH / Hx, với Hx = khoảng cách... x là chân đường vuông góc từ H... Thực chất góc giữa Sx và HB: Sx ⊥ CD, HB ⊥ CD, cả hai trong (SHB). Trong mặt phẳng (SHB): S, H, B, và x. tan góc(Sx, HB) = SH / Hx. Cần Hx: x = giao điểm... Vì không xác định trực tiếp, dùng kết quả tọa độ tan α = √2/2 (đã kiểm tra bằng hai pháp tuyến). Thực ra cách chuẩn: góc giữa (SCD) và (ABCD) = góc giữa SC và BD'... Dùng cách khác: (SCD)∩(ABCD) = CD, kẻ HK... Chốt: tan α = √2/2.

c) Khoảng cách từ A đến (SBD): pháp tuyến n = SB × SD với SB = (a√2/2, 0, −a), SD = (−a√2/2, a√2, −a): n = (a²√2, a²√2, a²) ∼ (√2, √2, 1). Mặt phẳng qua B: √2(x − a√2) + √2y + z = 0. d(A,(SBD)) = |−2a|/√5 = 2a/√5 = 2a√5/5.