Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông có cạnh bằng 6. Trên các cạnh $SA$, $SB$ lần lượt lấy $M$, $N$ sao cho $\frac{SM}{SA}=\frac{2}{3}$, $\frac{SN}{SB}=\frac{2}{3}$.

a. Chứng minh rằng $MN\parallel (ABCD)$.

b. Một mặt phẳng $(a)$ đi qua $M$, $N$ song song với $AB$ và $BC$. Tính diện tích của hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(a)$ với tất cả các mặt (nếu có) của hình chóp.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trong tam giác $SAB$ có $\frac{SM}{SA}=\frac{SN}{SB}=\frac{2}{3}$, theo định lý Thales (đảo) ta có $MN\parallel AB$. Mà $AB\subset (ABCD)$ và $MN\not\subset (ABCD)$, suy ra $MN\parallel (ABCD)$.

b) Vì $(a)$ đi qua $M$, $N$ nên chứa đường thẳng $MN\parallel AB$; lại có $(a)$ song song với $BC$. Do $AB$ và $BC$ là hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$, nên $(a)\parallel (ABCD)$.

Mặt phẳng $(a)$ cắt hình chóp theo thiết diện là hình song song với đáy, đi qua $M\in SA$, nên thiết diện là hình vuông đồng dạng với đáy theo tỉ số $k=\frac{SM}{SA}=\frac{2}{3}$ (các giao tuyến với $(SAB)$, $(SBC)$, $(SCD)$, $(SDA)$ lần lượt song song với $AB$, $BC$, $CD$, $DA$).

Cạnh thiết diện: $6\cdot \frac{2}{3}=4$.

Diện tích thiết diện: $4^2=16$.