Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a,SA\perp (ABCD)$. Biết góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $60^{\circ }$. Tính góc phẳng nhị diện $[S,BD,C]$?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O=AC\cap BD$ là tâm hình vuông. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$ là $AC$, do đó góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}=60^{\circ }$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có $AC=a\sqrt{2}$, suy ra $SA=AC\tan 60^{\circ }=a\sqrt{6}$.

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BD\perp AC$; lại có $SA\perp BD$ (vì $SA\perp (ABCD)$). Suy ra $BD\perp (SAC)$, do đó $BD\perp SO$ và $BD\perp OC$. Vậy góc phẳng nhị diện $[S,BD,C]$ là $\widehat{SOC}$ trong mặt phẳng $(SAC)$.

Tam giác vuông $SOA$ (vuông tại $A$) với $AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$:
$$\tan \widehat{SOC}=\frac{SA}{AO}=\frac{a\sqrt{6}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{3}.$$

Vậy góc phẳng nhị diện $[S,BD,C]$ bằng $\arctan (2\sqrt{3})\approx 73,9^{\circ }$.