Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA=a\sqrt{6}$, đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.
a) Chứng minh mặt phẳng $(SAC)$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.
b) Tính khoảng cách giữa đường thẳng $SC$ và đường thẳng $BD$.

Vẽ hình đúng để làm câu a (0,25 điểm).
a) Vì $(SAC)$ chứa $SA$ và $SA\perp (ABCD)$ nên $(SAC)\perp (ABCD)$ (0,25 điểm).
b) Gọi $O=AC\cap BD$. Do $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $AC=a\sqrt{2}$ và $O$ là trung điểm của $AC$. Suy ra $OC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Ta lại có $SC=\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}=2a\sqrt{2}$.
Kẻ $OH\perp SC$ $(H\in SC)$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AC\perp BD$. Dẫn tới $BD\perp (SAC)$. Suy ra $BD\perp OH$.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $SC$, $BD$ là $d(SC,BD)=OH$.
Ta có $\sin \widehat{OCH}=\frac{OH}{OC}=\frac{SA}{SC}$ nên $OH=\frac{SA\cdot OC}{SC}=a\sqrt{6}\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2a\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{4}$.
Vậy $d(SC,BD)=\frac{a\sqrt{6}}{4}$. (0,25 điểm + 0,25 điểm)