Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=2a$, $AD=a$. Hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm $H$ của $AB$ và $\widehat{SCH}=45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $H(0;0;0)$, $A(-a;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(-a;a;0)$, $S(0;0;h)$. Vì $HC=\sqrt{H{B}^2+B{C}^2}=a\sqrt{2}$ và $\widehat{SCH}=45^{\circ }$ nên $SH=HC=a\sqrt{2}$, tức $S(0;0;a\sqrt{2})$.

a) $BC\perp AB$ (hình chữ nhật) và $BC\perp SH$ ($SH\perp (ABCD)$) nên $BC\perp (SAB)$. Đúng.

b) Mặt phẳng $(SBC)$ qua $B(a;0;0)$ với pháp tuyến $\vec{n}=(\sqrt{2};0;1)$ (từ $\overrightarrow{BS}=(-a;0;a\sqrt{2})$, $\overrightarrow{BC}=(0;a;0)$): $\sqrt{2}x+z=\sqrt{2}a$. Khoảng cách từ $H$: $\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Đúng.

c) $K$ trung điểm $CD$ nên $K(0;a;0)$, $HK$ có phương along $Oy$, còn $CD\parallel AB$ theo $Ox$ nên $CD\perp HK$; lại $CD\perp SH$. Vậy $CD\perp (SHK)$. Đúng.

d) Mặt phẳng $(SCD)$ qua $C(a;a;0)$ với pháp tuyến $\vec{n}=(0;\sqrt{2};1)$ (từ $\overrightarrow{DC}=(2a;0;0)$, $\overrightarrow{DS}=(a;-a;a\sqrt{2})$): $\sqrt{2}y+z=\sqrt{2}a$. Khoảng cách từ $H$: $\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\ne \frac{a\sqrt{6}}{2}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp AB$ và $BC\perp SH$ nên $BC\perp (SAB)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(SBC):\sqrt{2}x+z=\sqrt{2}a$, $d(H,(SBC))=\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$CD\perp HK$ (vì $HK\parallel AD$) và $CD\perp SH$ nên $CD\perp (SHK)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(SCD):\sqrt{2}y+z=\sqrt{2}a$, $d(H,(SCD))=\frac{a\sqrt{6}}{3}$, không phải $\frac{a\sqrt{6}}{2}$.