Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a\sqrt{2}$, $AD=a$. Cạnh bên $SA=2a$ và $SA$ vuông góc mặt đáy $(ABCD)$. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $A(0;0;0)$, $B(a\sqrt{2};0;0)$, $D(0;a;0)$, $C(a\sqrt{2};a;0)$, $S(0;0;2a)$.
a) $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AD$, mà $AD\subset (ABCD)$, $AD$ là giao tuyến của $(SAD)$ và $(ABCD)$, do đó $(SAD)\perp (ABCD)$. Đúng.
b) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABCD)$ là $A$, suy ra hình chiếu của $SC$ là $AC$. Đúng.
c) $V=\frac{1}{3}\cdot AB\cdot AD\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot a\sqrt{2}\cdot a\cdot 2a=\frac{2\sqrt{2}}{3}{a}^3\ne \frac{\sqrt{2}}{3}{a}^3$. Sai.
d) Mặt phẳng $(SCD)$: $\overrightarrow{DC}=(a\sqrt{2};0;0)$, $\overrightarrow{DS}=(0;-a;2a)$, pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{DC}\times \overrightarrow{DS}=(0;-2a^2\sqrt{2};-a^2\sqrt{2})$, phương trình: $2y+z-2a=0$. Khoảng cách từ $A$: $d=\frac{|-2a|}{\sqrt{4+1}}=\frac{2a}{\sqrt{5}}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}$. Đúng.
Khớp với đáp án nguồn: Đ Đ S Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AD$; $AD$ là giao tuyến của $(SAD)$ và $(ABCD)$, do đó $(SAD)\perp (ABCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp (ABCD)$ nên hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là $A$, suy ra hình chiếu của $SC$ là $AC$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}\cdot a\sqrt{2}\cdot a\cdot 2a=\frac{2\sqrt{2}}{3}{a}^3\ne \frac{\sqrt{2}}{3}{a}^3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(SCD)$ có phương trình $2y+z-2a=0$; $d(A,(SCD))=\frac{2a}{\sqrt{5}}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}$.