Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, $K$ là trung điểm cạnh $SB$. Gọi $E$ là điểm trên $SC$ sao cho $\frac{SE}{SC}=\frac{1}{3}$, gọi $H$ là giao điểm của $KE$ và $(SAD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hệ trục gốc S với các vectơ $\overrightarrow{SA}=\vec{a},\overrightarrow{SB}=\vec{b},\overrightarrow{SC}=\vec{c}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{SD}=\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}$.

b) $\overrightarrow{KE}=\overrightarrow{SE}-\overrightarrow{SK}=\frac{1}{3}\vec{c}-\frac{1}{2}\vec{b}$, không tỉ lệ với $\overrightarrow{BC}=\vec{c}-\vec{b}$, nên $KE$ không song song $BC$ → Sai.

c) $E\in SC\subset (SCD)$ nên $E$ nằm trên mặt phẳng $(SCD)$ → Đúng.

d) Vì $AD\parallel BC$, $AD\subset (SAD)$, $BC\not\subset (SAD)$ nên $BC\parallel (SAD)$ → Đúng.

a) Điểm $H=KE\cap (SAD)$: viết $P=K+t(E-K)=\frac{1}{2}\vec{b}+t\left(\frac{1}{3}\vec{c}-\frac{1}{2}\vec{b}\right)$ và $P=\alpha \vec{a}+\beta (\vec{a}+\vec{c}-\vec{b})$. So sánh hệ số: $\beta =-\frac{1}{2}$, $\frac{t}{3}=-\frac{1}{2}\Rightarrow t=-\frac{3}{2}$. Vậy $H$ nằm ngoài đoạn $KE$ phía trên $K$, khi đó $\frac{HE}{HK}=\frac{|t-1|}{|t|}=\frac{5/2}{3/2}=\frac{5}{3}\approx 1,67\ne 0,76$ → Sai.

Kết quả: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng, khớp đáp án SSDD của mã đề 1111.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tính theo tọa độ gốc S: H ứng với tham số t = -3/2 trên đường thẳng KE nên HE/HK = 5/3 ≈ 1,67 ≠ 0,76 → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ KE = (1/3)c − (1/2)b không tỉ lệ với BC = c − b nên KE không song song BC → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
E thuộc SC nên E thuộc mặt phẳng (SCD) → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
BC ∥ AD, AD ⊂ (SAD), BC ⊄ (SAD) nên BC ∥ (SAD) → Đúng.