a) (0.5 điểm) Cho $\cos x=\frac{3}{5}$ với $0<x<90^0$. Tính giá trị của $\tan x$?

b) (1 điểm) Phương trình $\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=1$ có bao nhiêu nghiệm thỏa mãn $0\le x\le 2\pi$?

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM (Nếu học sinh làm không giống đáp án các thầy cô giáo chấm và cho điểm tương ứng.)

Câu 1a (0.5 điểm): Do $0<x<90^0\Rightarrow \{\begin{array}{l}\sin x>0\\ \cos x>0\\ \tan x>0\\ \cot x>0\end{array}$. (0.25)

Từ đó với $\cos x=\frac{3}{5}\Rightarrow \sin x=\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=\frac{4}{5}$. (0.25)

$\Rightarrow \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{4}{3}$. Vậy....

Câu 1b (1 điểm): Ta có $\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=1\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\iff \left[\begin{array}{c}x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right](k\in \mathbb{Z})\iff \left[\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{12}+k2\pi \\ x=-\frac{7\pi }{12}+k2\pi \end{array}\right](k\in \mathbb{Z})$ (0.25)

Với $0\le x\le 2\pi$ ta có $\{\begin{array}{l}0\le -\frac{\pi }{12}+k2\pi \le 2\pi \\ k\in \mathbb{Z}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\frac{1}{24}\le k\le \frac{25}{24}\\ k\in \mathbb{Z}\end{array}\iff k=1$ nghiệm là $x=\frac{23\pi }{12}$. (0.25)

$\{\begin{array}{l}0\le -\frac{7\pi }{12}+k2\pi \le 2\pi \\ k\in \mathbb{Z}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\frac{7}{24}\le k\le \frac{31}{24}\\ k\in \mathbb{Z}\end{array}\iff k=1\Rightarrow x=\frac{17\pi }{12}$. (0.25)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn $0\le x\le 2\pi$. (0.25)

Lưu ý: đề bài ghi $\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$ nhưng lời giải gốc dùng $\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ — không nhất quán theo bản gốc.