Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $M$ là trung điểm của cạnh $SC$. Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $SD$ với mặt phẳng $(AGM)$. Tỉ số $\frac{KS}{KD}$ bằng bao nhiêu?

Cho hình chữ nhật $ABCD$, $I$ và $K$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $CD$. Hệ thức nào sau đây đúng?

Cho tam giác $ABC$. Gọi $I$ là điểm nằm trên cạnh $BC$ sao cho $BI=4IC$.

(1 điểm) Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ là một điểm trên cạnh $BC$ sao cho $2MB=3MC$.

a) Chứng minh rằng $\overrightarrow{AM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$.

b) Cho đường thẳng $d$ đi qua $A$ và song song với $BC$. Xác định vị trí điểm $K$ thuộc đường thẳng $d$ sao cho biểu thức $P=\left|5\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

a) Cho $\Delta ABC$ có $G$ là trọng tâm. Chứng minh $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AG}$.
b) Hai người cùng kéo một con thuyền bị mắc cạn bởi các lực $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$ có cùng điểm đặt, biết hai lực $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$ có cường độ lần lượt là 100 (N), 120 (N) và chúng hợp với nhau một góc $60^{\circ }$. Hỏi con thuyền đó chịu một lực tổng hợp có cường độ bằng bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 10. (1,0 điểm) Cho $ABC$ đều có cạnh bằng $2a$. Gọi $d$ là đường thẳng qua $A$ và song song với đường thẳng $BC$ và điểm $M$ di động trên đường thẳng $d$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|$.

Câu 7. (1,0 điểm) Cho tam giác $ABC$, trọng tâm $G$. Trên cạnh $AB$ kéo dài lấy điểm $I$ sao cho $B$ là trung điểm $AI$. Trên cạnh $AC$ lấy điểm $J$ sao cho $AJ=\frac{2}{5}AC$. Biết $\overrightarrow{IG}=k\overrightarrow{IJ}$, hỏi $k$ bằng bao nhiêu?