Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=SB=SC=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, đáy là tam giác vuông tại $A$, cạnh $BC=a$. Tính côsin của góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(ABC)$.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Tính tan của góc tạo bởi đường thẳng $A{C}^{\prime }$ và $(ABCD)$?

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Tính tan của góc tạo bởi đường thẳng $A{C}^{\prime }$ và $(ABCD)$?

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại B, $AB=a\sqrt{3},BC=a$. Biết $SA\perp (ABC)$ và $SA=a\sqrt{2}$. Tính $\sin$ của góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(SAC)$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $O$, $AB=a,AD=a\sqrt{3}$, $SD=a\sqrt{13}$ và $SB$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.
a) Chứng minh: $AB\perp (SBC)$.
b) Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, $N$ là hình chiếu của $A$ lên $SM$. Chứng minh: $SO\perp AN$.
c) Gọi $\phi$ góc giữa đường thẳng $SO$ và mặt phẳng $(SCD)$. Tính $\sin \phi$.

Hình vẽ cho câu a:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $O$, $AB=a\sqrt{3},BC=a$, $SA=a\sqrt{19}$ và $SC$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.
a) Chứng minh: $BC\perp (SCD)$.
b) Gọi $E$ là trung điểm của $BC$, $M$ là hình chiếu của $B$ lên $SE$. Chứng minh: $SO\perp BM$.
c) Gọi $\phi$ góc giữa đường thẳng $SO$ và mặt phẳng $(SAD)$. Tính $\sin \phi$.

Hình vẽ cho câu a:

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác $ABC$ cân tại $A$, góc $BAC$ bằng $120^{\circ }$ và $AB=2a$. Hình chiếu của $A^{\prime }$ trên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trung điểm $H$ của $BC$, biết $A{A}^{\prime }=a\sqrt{2}$.

a) Chứng minh: $A^{\prime }A\perp BC$.

b) Tính góc giữa đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và mặt phẳng $(ABC)$.