Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \{-1,0\}$ thỏa mãn $f(1)=2\ln 2+1$ và $x(x+1)f^{\prime }(x)+(x+2)f(x)=x(x+1)$, $\forall x\in \mathbb{R}\setminus \{-1;0\}$. Biết $f(2)=a+b\ln 3$, với $a$, $b$ là hai số hữu tỉ. Tính $T=a^2-b$? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Một bể chứa $3m^3$ nước tinh khiết. Người ta bơm vào bể đó nước muối có nồng độ không đổi cho mỗi lít nước với tốc độ 20 lít/phút. Biết rằng nồng độ muối trong bể sau $t$ phút (tính bằng tỉ số của khối lượng muối trong bể và thể tích nước trong bể, đơn vị: gam/lít) là một hàm số $f(t)$, thời gian $t$ tính bằng phút. Biết rằng tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $f(t)$ là $y=11$. Nồng độ muối trong bể sau khi bơm được 1 giờ là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Cho hàm số $f(x)$ xác định và có đạo hàm $f^{\prime }(x)$ liên tục trên $[1;3]$ và $f(x)\ne 0,\forall x\in [1;3]$, đồng thời $f^{\prime }(x)\cdot (1+f(x){)}^2=[f^2(x)(x-1){]}^2$ và $f(1)=-1$. Biết rằng ${\int }_2^{3}f(x)dx=a\ln 3+b\ln 2$ ($a,b\in \mathbb{Z}$). Tính tổng $S=a^2+b^2$.

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)+(x+1)f(x)=3x^2$ và $f(0)=1$. Đồ thị hàm số $y=f(x)$ cắt đường thẳng $y=1$ tại bao nhiêu điểm?