Cho hàm số $y=\frac{x^2+x+7}{x-1}$.

Ta viết lại $y=x+2+\frac{9}{x-1}$ với tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
Đạo hàm $y^{\prime }=1-\frac{9}{(x-1{)}^2}=\frac{(x+2)(x-4)}{(x-1{)}^2}$.
a) Đúng. $y^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt $x=-2$ và $x=4$ và $y^{\prime }$ đổi dấu qua hai điểm này nên đồ thị hàm số có hai điểm cực trị.
b) Đúng. Trên khoảng $(-\infty ;-2)$, $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến.
c) Sai. Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }[y-(x+2)]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{9}{x-1}=0$, nên đường tiệm cận xiên là $y=x+2$.
d) Đúng. Với $x>1$, theo bất đẳng thức AM-GM: $y=(x-1)+\frac{9}{x-1}+3\ge 2\sqrt{9}+3=9$, đẳng thức xảy ra khi $x=4\in (1;+\infty )$.