Cho hàm số $y=\frac{x-1}{2x+1}$. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[0;2\right]$ lần lượt là $M$ và $m$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{2x+1}$ xác định trên $[0;2]$ vì $2x+1\ne 0$ với mọi $x\in [0;2]$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x+1)-(2x-2)}{(2x+1{)}^2}=\frac{3}{(2x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\in [0;2]$, nên hàm số đồng biến trên đoạn này. Do đó $m=y(0)=\frac{-1}{1}=-1$ và $M=y(2)=\frac{1}{5}$. Suy ra $M+m=\frac{1}{5}-1=-\frac{4}{5}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (C).