Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x+1}{x-2}$ có đồ thị là $(C)$ và đồ thị $\left(C^{\prime }\right)$ đối xứng với đồ thị $(C)$ qua đường thẳng $y=x$. (hình vẽ)



Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), $\left(C^{\prime }\right)$, đường thẳng $x=-2$ và trục tung. (phần tô đậm). (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Để trang trí một ô hình chữ nhật với kích thước 80 cm×60 cm chiều ngang 80 chiều dọc 60 ( hình vẽ) trên tường căn phòng của mình, anh Bình dự định tô màu họa tiết giới hạn bởi parabol $(P)$ và cạnh hình chữ nhật (phần kí hiệu sọc nghiêng) bằng sơn màu vàng ; họa tiết giới hạn bởi parabol $(C)$ cùng các cạnh của ô chữ nhật (phần vùng tô đậm) bằng sơn màu xanh (như hình vẽ). Biết rằng các parabol $(P)$ và $(C)$ đối xứng nhau qua đường thẳng $AB$ và diện tích (phần kí hiệu sọc nghiêng) dự định tô sơn vàng bằng $\frac{1600}{3}c{m}^2$. Tính tổng số tiền (đơn vị: triệu đồng) mà anh Bình cần phải trả để mua sơn trang trí. Biết mỗi lọ sơn, sơn được tối đa 30 $c{m}^2$. Cho biết giá của một lọ sơn vàng là 65000 đồng, giá của một lọ sơn xanh là 45000 đồng (biết rằng mỗi lọ sơn không được bán lẻ).

Cho $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C):f(x)=x^3-3x^2+2x$ và trục hoành

Cho $\underset{1}{\overset{2}{\int }}x\sqrt{x}dx=a\sqrt{2}-b,(a,b\in Q)$. Biểu thức $a-b$ bằng bao nhiêu?

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Tích phân ${\int }_a^{b}f(x)dx$ bằng

Cho ${\int }_{-1}^{2}f(x)dx=2$ và ${\int }_{-1}^{2}g(x)dx=-1$. Tính ${\int }_{-1}^2\left[x+2f(x)-3g(x)\right]dx$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=2^x$, hai trục tọa độ và $x=5$ bằng