Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R},f(0)=0,f^{\prime }(0)\ne 0$ và thỏa mãn hệ thức $2f(x)\cdot f^{\prime }(x)+18x^2-(2x^2+3x)f^{\prime }(x)=(4x+3)f(x),\forall x\in \mathbb{R}$. Biết ${\int }_0^{\pi /2}f(x)\cos f(x)dx=-\frac{a\pi +b}{6}$ với $a,b\in \mathbb{Z}$. Tính giá trị $S=2022a-2023b$?

Ta có: $2f(x)f^{\prime }(x)+18x^2=(4x+3)f(x)+(2x^2+3x)f^{\prime }(x)$. Lấy nguyên hàm hai vế: $f(x{)}^2+6x^3=(2x^2+3x)f(x)+C$. Với $f(0)=0\Rightarrow C=0$. Khi đó $f(x{)}^2-(2x^2+3x)f(x)+6x^3=0\iff (f(x)-3x)(f(x)-2x^2)=0$. Vì $f^{\prime }(0)\ne 0$ nên $f(x)=3x$. Khi đó: ${\int }_0^{\pi /2}3x\cos (3x)dx={\left[x\sin 3x+\frac{1}{3}\cos 3x\right]}_0^{\pi /2}=-\frac{\pi }{2}-\frac{1}{3}=-\frac{3\pi +2}{6}$. Suy ra $a=3,b=2$. Giá trị $S=2022(3)-2023(2)=6066-4046=2020$.


Chọn D.