Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=(x-2)\ln x,\forall x>0$. Khẳng định nào sau đây sai?

Với $x>0$, ta có $f^{\prime }(x)=0\iff (x-2)\ln x=0\iff x=1$ hoặc $x=2$.
Xét dấu của $f^{\prime }(x)$:
- Với $x\in (0;1)$: $x-2<0$ và $\ln x<0\Rightarrow f^{\prime }(x)>0$, hàm số đồng biến trên $(0;1)$.
- Với $x\in (1;2)$: $x-2<0$ và $\ln x>0\Rightarrow f^{\prime }(x)<0$, hàm số nghịch biến trên $(1;2)$.
- Với $x\in (2;+\infty )$: $x-2>0$ và $\ln x>0\Rightarrow f^{\prime }(x)>0$, hàm số đồng biến trên $(2;+\infty )$.
Do đó khẳng định hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$ là sai. Vậy chọn B.