Cho hàm số $f(x)=\sqrt{3x-x^2}$ . Các khẳng định sau đây đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của $f(x)=\sqrt{3x-x^2}$ là $[0;3]$. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{3-2x}{2\sqrt{3x-x^2}}$.

a) Trên $(0;\frac{3}{2})$ ta có $3-2x>0$ nên $f^{\prime }(x)>0$, hàm số đồng biến. Đúng.

b) $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=\frac{3}{2}$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên hàm đạt cực ĐẠI (không phải cực tiểu) tại $x=\frac{3}{2}$. Sai.

c) Trên $(\frac{3}{2};3)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến; do $(2;3)\subset (\frac{3}{2};3)$ nên hàm nghịch biến trên $(2;3)$. Đúng.

d) Điểm cực trị của đồ thị là $I(\frac{3}{2};\frac{3}{2})$. Đường thẳng $d$ cắt hai tia $Ox,Oy$ tại $A(a;0),B(0;b)$ với $a,b>0$ có phương trình $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$. Vì $d$ qua $I$: $\frac{3}{2a}+\frac{3}{2b}=1\iff \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{3}$. Diện tích $S=\frac{ab}{2}=\frac{1}{2uv}$ với $u=\frac{1}{a},v=\frac{1}{b},u+v=\frac{2}{3}$. $S$ nhỏ nhất khi $uv$ lớn nhất, tức $u=v=\frac{1}{3}\Rightarrow a=b=3$. Khi đó $d:x+y=3$ hay $y=-x+3$, nên $m=n=-1$, $3m-2n=-3+2=-1<0$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in (0;\frac{3}{2})$, $f^{\prime }(x)=\frac{3-2x}{2\sqrt{3x-x^2}}>0$ nên hàm đồng biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=\frac{3}{2}$ nên hàm đạt cực đại, không phải cực tiểu.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(\frac{3}{2};3)$ có $f^{\prime }(x)<0$, mà $(2;3)\subset (\frac{3}{2};3)$ nên hàm nghịch biến trên $(2;3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường qua $I(\frac{3}{2};\frac{3}{2})$ cắt hai tia tại $A(a;0),B(0;b)$, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{3}$; diện tích $\frac{ab}{2}$ nhỏ nhất khi $a=b=3$, khi đó $d:y=-x+3$, $3m-2n=-1<0$.