Cho hàm số $f(x)=\frac{2x-4}{x+1}$ có đồ thị là $(H)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{2x-4}{x+1}=2-\frac{6}{x+1}$, đồ thị $(H)$ là hyperbol có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=2$, tâm $I(-1;2)$.

a) Điểm $M\left(t;2-\frac{6}{t+1}\right)$ với $t\ne -1$. Đường thẳng $(d):y=6x+2\iff 6x-y+2=0$. Khoảng cách:
$$d(M,(d))=\frac{\left|6t-\left(2-\frac{6}{t+1}\right)+2\right|}{\sqrt{37}}=\frac{6\left|t+\frac{1}{t+1}\right|}{\sqrt{37}}=\frac{6\left|u-1+\frac{1}{u}\right|}{\sqrt{37}}$$ với $u=t+1\ne 0$. Với $u>0$: $u+\frac{1}{u}-1\ge 2-1=1$; với $u<0$: $\left|u-1+\frac{1}{u}\right|=v+\frac{1}{v}-1\ge 1$ với $v=-u>0$. Vậy khoảng cách nhỏ nhất bằng $\frac{6}{\sqrt{37}}$, không phải $\frac{18}{\sqrt{37}}$. → Sai.

b) Trên $[1;3]$: $f(1)=-1$, $f(3)=\frac{1}{2}$, hàm số đồng biến, $f(2)=0$. Do đó ${\max }_{[1;3]}|f(x)|=1$, ${\min }_{[1;3]}|f(x)|=0$, tổng bằng $1\ne \frac{3}{2}$. → Sai.

c) $y=2-\frac{6}{x+1}$ nguyên khi $x+1$ là ước của $6$: $x+1\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\}$, cho 8 điểm nguyên: $(0;-4),(1;-1),(2;0),(5;1),(-2;8),(-3;5),(-4;4),(-7;3)$. Vậy có 8 điểm chứ không phải 6. → Sai.

d) Xét các đường thẳng mà mọi điểm chung với $(H)$ đều có tọa độ nguyên:
• Đường thẳng qua hai trong 8 điểm nguyên (cắt $(H)$ tại đúng 2 điểm đó, không có 3 điểm nào thẳng hàng): $C_8^2=28$ đường.
• Tiếp tuyến tại mỗi điểm nguyên: 8 đường (điểm chung duy nhất là điểm tiếp xúc nguyên).
• Đường thẳng qua mỗi điểm nguyên và song song với tiệm cận đứng $x=-1$ (tức đường thẳng $x=x_0$): 8 đường (các hoành độ đôi một khác nhau), mỗi đường chỉ cắt $(H)$ tại đúng điểm nguyên đó.
• Đường thẳng qua mỗi điểm nguyên và song song với tiệm cận ngang $y=2$ (tức $y=y_0$): 8 đường (các tung độ đôi một khác nhau).
Tổng: $28+8+8+8=52$ đường thẳng phân biệt. → Đúng.

Kết luận: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách nhỏ nhất từ điểm trên $(H)$ đến $(d)$ bằng $\frac{6}{\sqrt{37}}$, không phải $\frac{18}{\sqrt{37}}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[1;3]$: $\max |f|=1$, $\min |f|=0$ (vì $f(2)=0$), tổng bằng $1\ne \frac{3}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$x+1$ là ước của 6 nên có 8 điểm nguyên, không phải 6.
d) (AI giải đề cho tôi)
28 cát tuyến qua 2 điểm nguyên + 8 tiếp tuyến + 8 đường song song tiệm cận đứng + 8 đường song song tiệm cận ngang = 52 đường.