Câu 28HSGChuyên đề: Tổng hữu hạn cấp số nhân • Lớp 11Thể tích khối lăng trụVận dụng cao#secondary:M11.G13.VOLUME.L3.PRISM#curriculum:undetermined
Trong một cuộc thi thiết kế mô hình để đặt tại sân trước thư viện sách, nhóm sinh viên một trường đại học dự định thiết kế một chiếc tháp sách được tạo bởi các phiến đá đặc hình hộp chữ nhật xếp liên tiếp chồng lên nhau, phiến to ở dưới phiến nhỏ ở trên (những phiến đá biểu tượng cho những cuốn sách) có tâm cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với mặt đất. Biết rằng các phiến đá có độ dày bằng nhau và bằng . Các mặt đáy của các phiến đá là các hình chữ nhật có tỷ lệ chiều rộng và chiều dài là 2:3. Mỗi phiến đá nằm liền kề phía trên có hai đỉnh đối nhau của hình chữ nhật đáy trùng với hai trung điểm của hai cạnh ngắn của đáy phiến đá nằm liền kề phía dưới (tham khảo hình vẽ). Tính thể tích khối đá thành phẩm dùng để làm chiếc tháp cao , biết phiến đá dưới cùng có kích thước mặt đáy là và được đặt trên nền đất phẳng. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm, đơn vị là ).
Trong một cuộc thi thiết kế mô hình để đặt tại sân trước thư viện sách, nhóm sinh viên một trường đại học dự định thiết kế một chiếc tháp sách được tạo bởi các phiến đá đặc hình hộp chữ nhật xếp liên tiếp chồng lên nhau, phiến to ở dưới phiến nhỏ ở trên (những phiến đá biểu tượng cho những cuốn sách) có tâm cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với mặt đất. Biết rằng các phiến đá có độ dày bằng nhau và bằng . Các mặt đáy của các phiến đá là các hình chữ nhật có tỷ lệ chiều rộng và chiều dài là 2:3. Mỗi phiến đá nằm liền kề phía trên có hai đỉnh đối nhau của hình chữ nhật đáy trùng với hai trung điểm của hai cạnh ngắn của đáy phiến đá nằm liền kề phía dưới (tham khảo hình vẽ). Tính thể tích khối đá thành phẩm dùng để làm chiếc tháp cao , biết phiến đá dưới cùng có kích thước mặt đáy là và được đặt trên nền đất phẳng. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm, đơn vị là ).
Đáp án chính thức: Tự luận
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Tháp cao 3 m, mỗi phiến dày 0,2 m nên có 15 phiến đá. Đáy phiến dưới cùng là hình chữ nhật 3 × 4,5 (tỉ lệ 2:3), đặt k₁ = 1,5 (chiều rộng 2k₁ = 3, chiều dài 3k₁ = 4,5). Hai trung điểm hai cạnh ngắn của phiến dưới cách nhau một khoảng bằng chiều dài phiến dưới là 3k, và đây là hai đỉnh đối nhau (hai đầu một đường chéo) của hình chữ nhật đáy phiến trên. Đường chéo hình chữ nhật tỉ lệ 2:3 là k√13, nên k√13 = 3k → k' = (3/√13)k. Vậy các phiến tạo cấp nhân với công bội q = 3/√13. Thể tích phiến thứ i: Vᵢ = 0,2·(2kᵢ)(3kᵢ) = 1,2kᵢ². Tổng thể tích: V = 1,2k₁²·Σ_{i=0}^{14} q^{2i} = 1,2·2,25·(1 − (9/13)^15)/(1 − 9/13) = 2,7·(13/4)·(1 − (9/13)^15) = 8,775·(1 − (9/13)^15). Tính (9/13)^15 ≈ 0,004022 nên V ≈ 8,775·0,995978 ≈ 8,7397 ≈ 8,74 m³.
Tháp cao 3 m, mỗi phiến dày 0,2 m nên có 15 phiến đá. Đáy phiến dưới cùng là hình chữ nhật 3 × 4,5 (tỉ lệ 2:3), đặt k₁ = 1,5 (chiều rộng 2k₁ = 3, chiều dài 3k₁ = 4,5). Hai trung điểm hai cạnh ngắn của phiến dưới cách nhau một khoảng bằng chiều dài phiến dưới là 3k, và đây là hai đỉnh đối nhau (hai đầu một đường chéo) của hình chữ nhật đáy phiến trên. Đường chéo hình chữ nhật tỉ lệ 2:3 là k√13, nên k√13 = 3k → k' = (3/√13)k. Vậy các phiến tạo cấp nhân với công bội q = 3/√13. Thể tích phiến thứ i: Vᵢ = 0,2·(2kᵢ)(3kᵢ) = 1,2kᵢ². Tổng thể tích: V = 1,2k₁²·Σ_{i=0}^{14} q^{2i} = 1,2·2,25·(1 − (9/13)^15)/(1 − 9/13) = 2,7·(13/4)·(1 − (9/13)^15) = 8,775·(1 − (9/13)^15). Tính (9/13)^15 ≈ 0,004022 nên V ≈ 8,775·0,995978 ≈ 8,7397 ≈ 8,74 m³.
