Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{x^2-4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{1}{x^2-4}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right)$.

a) Sai. Phân tích đúng là $\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right)$; đề đưa dấu ngược lại (thử $x=0$: $f(0)=-\frac{1}{4}$ còn biểu thức ở ý a) cho $+\frac{1}{4}$).

b) Sai. Nguyên hàm: $\int f(x)dx=\frac{1}{4}\ln \left|\frac{x-2}{x+2}\right|$. Vậy ${\int }_3^{4}f(x)dx=\frac{1}{4}\left(\ln \frac{2}{6}-\ln \frac{1}{5}\right)=\frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}\approx 0,128<\frac{1}{2}$.

c) Đúng. ${\int }_3^{4}f(x)dx=\frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}$, phân số tối giản $\frac{a}{b}=\frac{5}{3}$ nên $a\cdot b=5\cdot 3=15$.

d) Sai. ${\int }_3^4\frac{f^{\prime }(x)}{f^2(x)}dx={\left[-\frac{1}{f(x)}\right]}_3^4=-f(4)+f(3)=-\frac{1}{12}+\frac{1}{5}=\frac{7}{60}$. Do đó ${\int }_3^4\left[f(x)+\frac{f^{\prime }(x)}{f^2(x)}\right]dx=\frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}+\frac{7}{60}\ne \frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}+7$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phân tích đúng: $f(x)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right)$; ý a) viết ngược dấu nên sai (kiểm tra $x=0$: $f(0)=-1/4$ nhưng biểu thức ý a) cho $1/4$).
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_3^{4}f(x)dx=\frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}\approx 0,128<\frac{1}{2}$ nên sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_3^{4}f(x)dx=\frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}$, $a=5,b=3$ tối giản, $a\cdot b=15$ nên đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_3^4\frac{f^{\prime }(x)}{f^2(x)}dx={\left[-\frac{1}{f(x)}\right]}_3^4=\frac{7}{60}$, nên tổng bằng $\frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}+\frac{7}{60}\ne \frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}+7$, sai.