Cho $F(x);G(x)$ lần lượt là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=x\sqrt{x}+8$ ; $g(x)=5^x-e^x$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=x\sqrt{x}+8=x^{3/2}+8$ nên $\int f(x)dx=\frac{2}{5}{x}^{5/2}+8x+C$. Với $g(x)=5^x-e^x$ thì $\int g(x)dx=\frac{5^x}{\ln 5}-e^x+C$.

a) Đúng. Vì $F,G$ là nguyên hàm của $f,g$ nên $F-G$ là một nguyên hàm của $f-g$, do đó $\int (f(x)-g(x))dx=F(x)-G(x)+C$.

b) Sai. $\int g(x)dx=\frac{5^x}{\ln 5}-e^x+C_2$, không phải $5^x\ln 5-e^x+C_2$.

c) Sai. Nguyên hàm đúng là $F(x)=\frac{2}{5}{x}^{5/2}+8x+C_1$, không phải $\frac{5}{2}{x}^{5/2}$.

d) Đúng. Từ $F(0)=5$ suy ra $F(x)=\frac{2}{5}{x}^{5/2}+8x+5$, nên $F(1)=\frac{2}{5}+8+5=\frac{67}{5}$. Từ $G(0)=\frac{1}{\ln 5}-1$ suy ra hằng số $C=0$, tức $G(x)=\frac{5^x}{\ln 5}-e^x$, nên $G(1)=\frac{5}{\ln 5}-e$. Vậy $F(1)-G(1)=\frac{67}{5}-\frac{5}{\ln 5}+e$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$F-G$ là một nguyên hàm của $f-g$ nên $\int (f(x)-g(x))dx=F(x)-G(x)+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\int g(x)dx=\frac{5^x}{\ln 5}-e^x+C_2$, hệ số phải là $\frac{1}{\ln 5}$ chứ không phải $\ln 5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\int (x^{3/2}+8)dx=\frac{2}{5}{x}^{5/2}+8x+C_1$, hệ số là $\frac{2}{5}$ chứ không phải $\frac{5}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(1)=\frac{2}{5}+8+5=\frac{67}{5}$; $G(1)=\frac{5}{\ln 5}-e$; do đó $F(1)-G(1)=\frac{67}{5}-\frac{5}{\ln 5}+e$.