Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\cos 2x$ thỏa mãn $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=\pi$. Tìm $F(x)$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có $f^{\prime }(x)=4x^3-m+1$, $f(2)=1$ và đồ thị của hàm số $y=f(x)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $3$. Tìm được $f(x)=a{x}^4+bx+c$ với $a,b,c\in \mathbb{Z}$, tính $a+b+c$.

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x-1}$, $f(0)=2022$, $f(2)=2023$. Tính $S=f(3)-f(-1)$.

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f(1)=4$ và $f(x)=f^{\prime }(x)x-2x^3-3x^2$. Tính $f(2)$.

Tìm nguyên hàm của các hàm số $f(x)=x^3-2x+5$ thoả mãn $F(1)=3$.

Gia tốc tại thời điểm $t$ (giây) của một vật chuyển động thẳng được cho bởi công thức $a(t)=4\pi \cos t$ (${\text{cm/s}}^2$). Nếu vận tốc của vật bằng $0$ tại thời điểm $t=0$ thì vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian $0\le t\le \pi$ là bao nhiêu?

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục, nhận giá trị dương trên nửa khoảng $[1;+\infty )$, $f(1)=2$ và ${\left(\frac{f^2(x)}{x^2}\right)}^{\prime }=1,\forall x\in [1;+\infty )$. Tính $f(2)$.