Cho các hàm số sau:

(I) : $y=\frac{1}{3}{x}^3-x^2+3x+4$; (II) : $y=\frac{x-1}{x+1}$ ; (III) : $y=\sqrt{x^2+4}$

(IV) : $y=x^3+4x-\sin x$; (V) : $y=x^4+x^2+2$ .

Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên những khoảng mà nó xác định?

(AI giải đề cho tôi)
Xét đạo hàm từng hàm số:
(I) $y^{\prime }=x^2-2x+3=(x-1{)}^2+2>0$ với mọi $x$, nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
(II) $y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$, nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$.
(III) $y^{\prime }=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$: âm khi $x<0$, dương khi $x>0$, nên hàm số không đồng biến trên toàn bộ tập xác định $\mathbb{R}$.
(IV) $y^{\prime }=3x^2+4-\cos x\ge 3x^2+3>0$ với mọi $x$ (vì $\cos x\le 1$), nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
(V) $y^{\prime }=4x^3+2x=2x(2x^2+1)$ đổi dấu qua $x=0$, nên hàm số không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Vậy có 3 hàm số (I), (II), (IV) đồng biến trên những khoảng mà nó xác định.