Cho ${\int }_1^{2}f(x)dx=3$ và ${\int }_1^{2}g(x)dx=2$. Giá trị ${\int }_1^2[f(x)+g(x)]dx$ bằng

Biết $F(x)=x^2$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Tính ${\int }_1^3[1+f(x)]dx$.

Biết ${\int }_{-1}^{4}f(x)dx=3$ và ${\int }_{-1}^{0}f(x)dx=2$, tính ${\int }_0^4[4e^{2x}+3f(x)]dx$.

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+x-1& x\ge 0\\ 2x^2-1& x<0\end{array}$. Tính $I={\int }_{\frac{1}{e}}^e\frac{f^{\prime }(\ln x)\ln x}{x}dx$.

Cho hàm số $f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$ với $a,b,c,d,e$ là các số thực. Đồ thị của hai hàm số $y=f^{\prime }(x)$ và $y=f^{\prime \prime }(x)$ cắt nhau tại các điểm trong đó có hai điểm là $M,N$ (tham khảo hình vẽ).
[IMAGE:img_q48_graph]

Biết diện tích miền gạch chéo bằng 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y=f^{\prime }(x)$ và $y=f^{\prime \prime }(x)$.

Nếu ${\int }_1^{3}f(x)dx=2$ và ${\int }_1^{3}g(x)dx=-1$ thì ${\int }_1^3[f(x)+3g(x)]dx$ bằng:

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ đồng thời $f(x)+f\left(\frac{\pi }{2}-x\right)={\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x+1$, $\forall x\in \mathbb{R}$. Tích phân ${\int }_0^{\pi /2}f(x)dx=\frac{\pi }{a}+\frac{b}{c}$ với $a,b,c\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tổng $a+b+c$ bằng: