Biết $F(x)=x^2$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Tính ${\int }_1^3[1+f(x)]dx$.

Tìm số thực $m$ thỏa mãn $9+{\int }_0^1(2m^{2}x-6m)dx=0$.

Trong một cuộc thi sáng tạo các chủ đề liên quan đến Kỷ niệm $50$ năm ngày miền Nam hoàn toàn giải phóng, một em học sinh lớp 12 đã đạt giải đặc biệt với một thiết kế vô cùng độc đáo. Em học sinh này đã thiết kế bề mặt của một chiếc đồng hồ treo tường bằng sự kết hợp giữa lịch sử, mỹ thuật và toán học.
- Phần trong của mặt đồng hồ là hình vuông có cạnh bằng $2\text{ dm}$, nơi đây lưu giữ hình ảnh của chiếc xe tăng 390 của bộ đội Việt Nam tiến vào dinh độc lập.
- Phần ngoài của mặt đồng hồ là đường tròn có bán kính bằng $2\text{ dm}$.
- Đường cong trung gian có tên $(L)$ là tập hợp tất cả điểm $P$ sao cho nếu kẻ tia $Ot$ bất kỳ cắt hình vuông và đường tròn lần lượt tại $M,N$ thì $P$ là trung điểm $MN$, $O$ là tâm đường tròn. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $(L)$ theo đơn vị ${\text{dm}}^2$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Tính ${\int }_0^3(4x^3-5x-2)\mathrm{d}x$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[a;b]$ và có một nguyên hàm trên $[a;b]$ là hàm số $F(x)$. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$. Định nghĩa nào sau đây về tích phân từ $a$ đến $b$ của $f(x)$ là đúng?

Tính tích phân $I={\int }_1^e\frac{1}{x}\mathrm{d}x$.