Cho ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\left({\tan }^{2}x+{\sin }^2\frac{x}{2}\right)dx=a+\frac{\pi }{b}-\frac{\sqrt{c}}{4}$ (với $a,b,c\in \mathbb{Z}$). Tính giá trị của biểu thức $S=a+b-3c$.

Cho số thực $a$ thỏa mãn ${\int }_0^a(2x+1)dx=5$. Tổng các giá trị thực của $a$ bằng :

Biết ${\int }_1^3\frac{x+2}{x}dx=a+b\ln c$, với $a,b,c\in \mathbb{Z}$, $c<9$. Tính tổng $S=a+b+c$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(2)=-3;f(5)=4$. Tính $I={\int }_2^5{f}^{\prime }(x)dx$.

Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^3-2x^2+bx+c$ ($a\ne 0$) và $y=g(x)=m{x}^2+nx+p$ ($m\ne 0$) có đồ thị cắt nhau tại ba điểm $A,B,C$ như hình vẽ dưới đây. Biết rằng đồ thị hàm số $y=g(x)$ là một parabol có trục đối xứng là $x=-\frac{1}{2}$ và diện tích tam giác $ABC$ bằng 2. Tính ${\int }_1^{3}f(x)dx$.

Cho hàm số $f(x)$ và $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa $F^{\prime }(x)=f(x),\forall x\in \mathbb{R}$. Tính ${\int }_0^{1}f(x)dx$ biết $F(0)=2$ và $F(1)=5$.

Biết $F(x)=x^3$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Giá trị của ${\int }_1^2[1+f(x)]dx$ bằng