Câu 4. Một mô hình thủy tinh được cấu tạo bởi một khối chóp $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $4$, $O$ là giao điểm của $AC,BD$ và một khối cầu $(S)$ nội tiếp khối chóp. Biết $V_{(S)}=\frac{1}{3}{R}_{(S)}{S}_{tp}$ trong đó ($R_{(S)}$: bán kính mặt cầu nội tiếp khối chóp, $S_{tp}$ là diện tích toàn phần của hình chóp, $V_{(S)}$ thể tích khối cầu $(S)$).

Khoảng cách từ đỉnh $S$ đến mặt đáy $(ABCD)$ bằng $\sqrt{2}$.

Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $\frac{32\sqrt{2}}{3}$ (đvtt).

Gọi $\alpha$ là một góc phẳng của góc nhị diện $[O,SD,C]$, giá trị $\tan \alpha =2$.

Để sử dụng phần không gian bên trong của khối cầu $(S)$ để nuôi cá, người ta cắt mô hình này bằng một mặt phẳng $(\beta )$ song song với mặt đáy $(ABCD)$. Để tối ưu hóa phần không gian này thì tổng chu vi giữa giao tuyến của mặt phẳng $(\beta )$ và mô hình này phải nhỏ nhất, giá trị nhỏ nhất này bằng $18,89$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).