Câu 4. (1,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABC)$, $SA=a$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AC,BC$.



a) (0,5 điểm) Tính thể tích của khối chóp $S.ABC$.

b) (0,5 điểm) Tính sin của góc giữa đường thẳng $BC$ và mặt phẳng $(SIJ)$.

Cho hình chóp $S.ABCD$, $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ cạnh $a$, $SA=2a$ và $SA\perp (ABCD)$. Gọi $H$ là trung điểm của $SB$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho hình chóp $S.ABCD$, $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ cạnh $a$; $SA=3a$ và $SA\perp (ABCD)$. Gọi $M$ là trung điểm của $SD$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Bạn Bình có nhu cầu làm đá viên với hình dạng khối chóp cụt tứ giác đều. Mỗi viên đá có kích thước như sau: cạnh đáy lớn là 5 cm, cạnh đáy nhỏ là 2 cm và chiều cao là 3 cm. Bạn Bình sử dụng loại khay làm đá mà mỗi khay có thể tạo ra đồng thời 6 viên đá. Sau khi hoàn thành, bạn Bình đã có tổng cộng 4 khay đá đầy. Hỏi Bình đã sử dụng bao nhiêu $c{m}^3$ nước để làm số đá viên này? (giả sử phần nước hao hụt khi làm là không đáng kể)

Cho hình chóp S.ABC có diện tích đáy bằng B và khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy (ABC) bằng h. Tính thể tích khối chóp S.ABC bằng:

Câu 6. Trong không gian cho một điểm O cố định. Các điểm $P$, $Q$, $R$, $S$ thay đổi sao cho chúng luôn là 4 đỉnh của một khối tứ diện đồng thời $OP=OQ=2$ và $OR=OS=\sqrt{10}$. Thể tích lớn nhất của khối tứ diện $PQRS$ bằng bao nhiêu? (làm tròn tới hàng phần trăm)

Một chi tiết máy được ghép từ hai khối kim loại có dạng khối chóp tam giác $S.ABC$ và khối lăng trụ đứng $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }.ABC$ như hình vẽ bên. Biết rằng độ dài cạnh bên của lăng trụ đứng $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }.ABC$ là $a$ và hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$ nằm bên trong tam giác $ABC$. Đồng thời, chi tiết máy này có đặc điểm như sau:

- Các khoảng cách từ $S$ đến các điểm $A,B,C$ bằng nhau và cùng bằng $\frac{1}{2}$ khoảng cách từ $S$ đến $A^{\prime }$.
- Các góc giữa các mặt phẳng $(SAB),(SBC),(SCA)$ với mặt phẳng $(ABC)$ cùng bằng $\alpha$ và $\tan \alpha =\frac{1}{2}\tan \beta$ trong đó $\beta$ là góc giữa $S{A}^{\prime }$ với mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.
Tính theo $a$ thể tích của chi tiết máy này.