Một chi tiết máy được ghép từ hai khối kim loại có dạng khối chóp tam giác $S.ABC$ và khối lăng trụ đứng $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }.ABC$ như hình vẽ bên. Biết rằng độ dài cạnh bên của lăng trụ đứng $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }.ABC$ là $a$ và hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$ nằm bên trong tam giác $ABC$. Đồng thời, chi tiết máy này có đặc điểm như sau:

- Các khoảng cách từ $S$ đến các điểm $A,B,C$ bằng nhau và cùng bằng $\frac{1}{2}$ khoảng cách từ $S$ đến $A^{\prime }$.
- Các góc giữa các mặt phẳng $(SAB),(SBC),(SCA)$ với mặt phẳng $(ABC)$ cùng bằng $\alpha$ và $\tan \alpha =\frac{1}{2}\tan \beta$ trong đó $\beta$ là góc giữa $S{A}^{\prime }$ với mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.
Tính theo $a$ thể tích của chi tiết máy này.