Luật Benford chỉ ra rằng khi chọn ngẫu nhiên một số liệu trong một bảng số liệu gồm số lượng đủ lớn các số liệu (như độ dài các con sông trên thế giới, số lượng các loài côn trùng trên thế giới,...) thì xác suất để chữ số đầu tiên bên trái của số liệu đó là $k$ (với $1\le k\le 9$) bằng $p_k={\log }_{10}\left(1+\frac{1}{k}\right)$.

a) Chứng minh $p_1+p_2+\cdots +p_9=1$ và tìm số $k$ nhỏ nhất để $p_1+p_2+\cdots +p_k\ge \frac{3}{4}$.

b) Một người muốn làm giả số liệu nhằm tưởng rằng các chữ số đầu tiên bên trái của các số liệu trong một bảng số liệu bất kỳ sẽ tuân theo quy tắc ngẫu nhiên từ 1 đến 9 và cùng khả năng xảy ra. Xét phép thử chọn ngẫu nhiên một số liệu trong một bảng số liệu gồm số lượng đủ lớn các số liệu. Chứng minh rằng nếu tính xác suất cho biến cố “chữ số đầu tiên bên trái của số liệu đó lớn hơn 5” thì người muốn làm giả số liệu đó sẽ tính ra kết quả lớn hơn hai lần kết quả khi tính theo Luật Benford.