Câu 1. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, $AB=a,AC=a\sqrt{3}$, $SA$ vuông góc với đáy, $SB$ hợp với đáy góc $45^{\circ }$. Tính:

a) Thể tích khối chóp $S.ABC$.

b) $d(A,(SBC))$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AB$, tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có $\widehat{SBA}=45^{\circ }$ (góc giữa $SB$ và đáy) $\Rightarrow SA=AB\tan 45^{\circ }=a$.

a) Diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}a\cdot a\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$. Thể tích $V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\cdot a=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$.

b) Ta có $AB\perp AC$, $AB\perp SA\Rightarrow AB\perp (SAC)\Rightarrow AB\perp SC$. Trong $(SAC)$ kẻ $AH\perp SC$ tại $H$. Vì $BC\perp SA$ (do $SA\perp$ đáy) và $BC\perp AH$ nên $BC\perp (SAH)\Rightarrow AH\perp (SBC)$. Vậy $d(A,(SBC))=AH$.

Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ với $SA=a$, $AC=a\sqrt{3}$ nên $SC=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$. Diện tích $S_{SAC}=\frac{1}{2}SA\cdot AC=\frac{1}{2}SC\cdot AH$ $\Rightarrow AH=\frac{SA\cdot AC}{SC}=\frac{a\cdot a\sqrt{3}}{2a}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Kết luận: $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$; $d(A,(SBC))=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.