Câu 6. Trong không gian cho một điểm O cố định. Các điểm $P$, $Q$, $R$, $S$ thay đổi sao cho chúng luôn là 4 đỉnh của một khối tứ diện đồng thời $OP=OQ=2$ và $OR=OS=\sqrt{10}$. Thể tích lớn nhất của khối tứ diện $PQRS$ bằng bao nhiêu? (làm tròn tới hàng phần trăm)

Một chi tiết máy được ghép từ hai khối kim loại có dạng khối chóp tam giác $S.ABC$ và khối lăng trụ đứng $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }.ABC$ như hình vẽ bên. Biết rằng độ dài cạnh bên của lăng trụ đứng $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }.ABC$ là $a$ và hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$ nằm bên trong tam giác $ABC$. Đồng thời, chi tiết máy này có đặc điểm như sau:

- Các khoảng cách từ $S$ đến các điểm $A,B,C$ bằng nhau và cùng bằng $\frac{1}{2}$ khoảng cách từ $S$ đến $A^{\prime }$.
- Các góc giữa các mặt phẳng $(SAB),(SBC),(SCA)$ với mặt phẳng $(ABC)$ cùng bằng $\alpha$ và $\tan \alpha =\frac{1}{2}\tan \beta$ trong đó $\beta$ là góc giữa $S{A}^{\prime }$ với mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.
Tính theo $a$ thể tích của chi tiết máy này.

Tính thể tích hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, biết hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $AB=SA=a$, $SO=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, $AB=2,AC=3$. Đường thẳng $SA$ vuông góc với đáy, $\widehat{SB}$ hợp với đáy góc $60^{\circ }$. Tính thể tích của khối chóp $S.ABC$. (Kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân).

Cho hình chóp đều $S.ABCD$, $AB=a$. Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ bằng $60^{\circ }$. Tính thể tích hình chóp $S.ABCD$.

Câu 4. Một mô hình Kim tự tháp bằng kim loại là một hình chóp đều có chiều cao bằng 10 cm, đáy là hình vuông cạnh 10 cm. Tính thể tích khối chóp mô hình kim tự tháp.( Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 1. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, $AB=a,AC=a\sqrt{3}$, $SA$ vuông góc với đáy, $SB$ hợp với đáy góc $45^{\circ }$. Tính:

a) Thể tích khối chóp $S.ABC$.

b) $d(A,(SBC))$.