Câu 2. (1,5 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Biết $SA=2a$ và $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $M$ là trung điểm $SB$, $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $DM$ và $(ABCD)$.
a) Chứng minh $CD\perp (SAD)$. Từ đó suy ra, tam giác $SCD$ vuông tại $D$.
b) Tính $\cos \alpha$.

a) Chứng minh $CD\perp (SAD)$. Từ đó suy ra, tam giác $SCD$ vuông tại $D$.

+ Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp CD$. (0,25)
+ Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AD\perp CD$. (0,25)
Có $CD$ vuông góc với $SA,AD$, và $SA$ cắt $AD$ trong mặt phẳng $(SAD)$ nên suy ra $CD\perp (SAD)$. (0,25)
Do $CD\perp (SAD)$ và $SD\subset (SAD)$ nên suy ra $CD\perp SD$.
Vậy tam giác $SCD$ vuông tại $D$. (0,25)

b) Tính $\cos \alpha$.
Gọi $N$ là trung điểm $AB$.
Ta có: $MN$ là đường trung bình của $\Delta SAB$ nên $MN//SA$ và $MN=\frac{1}{2}SA=a$.
Lại có: $SA\perp (ABCD)$.
Do đó $MN\perp (ABCD)$
Suy ra $ND$ là hình chiếu của $MD$ trên $(ABCD)$ nên góc giữa đường thẳng $DM$ và $(ABCD)$ bằng $\widehat{MDN}$. (0,25)
Ta có: $DN=\sqrt{A{D}^2+A{N}^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$, $DM=\frac{3a}{2}$.
Xét $\Delta MND$ vuông tại $N$, có $\cos \widehat{MDN}=\frac{ND}{DM}=\frac{\sqrt{5}}{3}$. (0,25)