Câu 2. (1 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, $AB=a;BC=2a$.

a) Tính độ dài của vectơ $\vec{u}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$

b) Tìm tập hợp điểm $M$ sao cho $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}\right|=3\left|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2. Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a, nên theo định lí Pythagoras: AC = √(BC² − AB²) = √(4a² − a²) = a√3.

a) Ta có $\vec{u}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc ba điểm), do đó $|\vec{u}|=|\overrightarrow{AC}|=a\sqrt{3}$.

b) Ta có $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CB}$ nên vế phải bằng $3|\overrightarrow{CB}|=3\cdot BC=6a$.

Xét điểm G thỏa mãn $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+4\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ (trọng tâm của hệ điểm với trọng số: A, B trọng số 1, C trọng số 4). Với mọi điểm M:
$$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}=(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA})+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB})+4(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC})=6\overrightarrow{MG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+4\overrightarrow{GC}\right)=6\overrightarrow{MG}.$$

Vậy điều kiện trở thành $|6\overrightarrow{MG}|=6a\iff MG=a$.

Kết luận: Tập hợp điểm M là đường tròn tâm G, bán kính a, với G xác định bởi $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+4\overrightarrow{GC}=\vec{0}$. Lưu ý G không nằm trên cạnh AC (vì có trọng số của B); cụ thể với hệ tọa độ A(0,0), B(a,0), C(0, a√3) thì $G=\frac{A+B+4C}{6}=\left(\frac{a}{6},\frac{2\sqrt{3}a}{3}\right)$.

Kiểm tra: với M bất kỳ trên đường tròn (G, a), $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}|=6MG=6a=3|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}|$ ✓