Câu 10. (2,0 điểm) Có bao nhiêu cặp số nguyên $x;y$ thỏa mãn $0\le x\le 2024$ và ${\log }_3\left(\overline{3x+3}\right)+x=2y+9^y$

Ta có: ${\log }_3(3x+3)+x=2y+9^y\iff {\log }_3(x+1)+x+1=2y+3^{2y}$ (1) (0,5 điểm)

Đặt ${\log }_3(x+1)=t\Rightarrow x+1=3^t$. Phương trình (1) trở thành: $t+3^t=2y+3^{2y}$ (2)

Xét hàm số $f(u)=u+3^u$ trên $\mathbb{R}$.

$f^{\prime }(u)=1+3^u\ln 3>0,\forall u\in \mathbb{R}$ nên hàm số $f(u)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. (0,5 điểm)

Do đó $(2)\iff f(t)=f(2y)\iff t=2y\Rightarrow {\log }_3(x+1)=2y\iff x+1=9^y\iff x=9^y-1$

Vì $0\le x\le 2024\Rightarrow 0\le 9^y-1\le 2024\iff 1\le 9^y\le 2025\iff 0\le y\le {\log }_{9}2025$

${\log }_{9}2025\approx 3,465$ (0,5 điểm)

Do $y\in \mathbb{Z}\Rightarrow y\in \{0;1;2;3\}$, có 4 giá trị của y nên cũng có 4 giá trị của x

Vậy có 4 cặp số nguyên $(x;y)$. (0,5 điểm)