Câu 7. (2,0 điểm) Một đề thi gồm 5 câu hỏi ở dạng thức trắc nghiệm dạng Đúng/Sai. Mỗi câu hỏi có 04 ý, tại mỗi ý học sinh lựa chọn đúng hoặc sai. Cách thức tính điểm như sau:
- Học sinh chỉ lựa chọn chính xác 01 ý trong 01 câu hỏi được 0,2 điểm.
- Học sinh chỉ lựa chọn chính xác 02 ý trong 01 câu hỏi được 0,5 điểm.
- Học sinh chỉ lựa chọn chính xác 03 ý trong 01 câu hỏi được 1 điểm.
- Học sinh chỉ lựa chọn chính xác 04 ý trong 01 câu hỏi được 2 điểm.
Một học sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên tất cả các ý trả lời. Tính xác suất để học sinh đó được ít nhất 9 điểm.

Học sinh đo được ít nhất 9 điểm chỉ trong hai trường hợp:
Trường hợp 1: HS được 10 điểm, tức là trả lời được 5 câu, mỗi câu đúng cả 4 ý.
Trường hợp 2: HS được 9 điểm, tức là trả lời được 4 câu đúng 4 ý và 1 câu chỉ đúng 3 ý.

Mỗi ý trả lời đều có xác suất trả lời đúng là $\frac{1}{2}$ và xác suất trả lời sai là $\frac{1}{2}$.

Xác suất để trả lời được một câu đúng cả 4 ý là $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^4.$

TH1: Xác suất để học sinh được 10 điểm là ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{4\times 5}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{20}.$

TH2: Tính xác suất để học sinh được 9 điểm:
- Xác suất để trả lời được 4 câu đúng cả 4 ý là $C_5^4\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{4\times 4}=5\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{16},$

- Xác suất để trả lời được 1 câu đúng 3 ý và sai 1 ý là $C_4^3{\left(\frac{1}{2}\right)}^3\cdot \frac{1}{2}=4\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^4.$

Xác suất để học sinh được 9 điểm là $5\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{16}\cdot 4\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^4=20\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{20}.$

Vậy xác suất cần tìm bằng ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{20}+20\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{20}=21\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{20}.$