Câu 1. Xét hàm số $f(x)=x+2\cos x$ trên đoạn $[0;2\pi ]$.

a) Đúng. Đạo hàm $f^{\prime }(x)=(x+2\cos x{)}^{\prime }=1-2\sin x$.
b) Đúng. Trong khoảng $(0;2\pi )$, phương trình $1-2\sin x=0\iff \sin x=\frac{1}{2}$ có đúng hai nghiệm là $x=\frac{\pi }{6}$ và $x=\frac{5\pi }{6}$.
c) Sai. Khi đi qua điểm $x=\frac{5\pi }{6}$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương, nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm này.
d) Đúng. Với $x\in \left(\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6}\right)$ thì $\sin x>\frac{1}{2}\Rightarrow f^{\prime }(x)<0$, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6}\right)$.