Bài 1. (6,0 điểm) Với mỗi số nguyên dương $n\ge 2$, xét phương trình
$$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2(x+2)}+\cdots +\frac{1}{n(x+n)}=1.$$
a) Chứng minh phương trình trên luôn có một nghiệm dương duy nhất $x_n$ với mỗi $n\ge 2$.
b) Đặt $y_n=n^{\frac{1}{2026}}(1-x_n),\forall n\ge 2$. Tính $\lim y_n$.

Lời giải (Lim Olympic - Quảng Ngãi TST - P1):

Với mỗi $n\ge 2$, đặt $f_n(x)={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k(x+k)}$ với $x\ge 0$.

a) Ta có $f_n(0)={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k^2}>1$, do $n\ge 2$ và $f_n(0)\ge 1+\frac{1}{4}>1$.

Mặt khác, $f_n(1)={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}={\sum }_{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=\frac{n}{n+1}<1$.

Vì $f_n$ liên tục nên tồn tại $x_n\in (0,1)$ sao cho $f_n(x_n)=1$.

Hơn nữa, nếu $0\le x<y$ thì với mọi $k=1,2,\dots ,n$ ta có $\frac{1}{k(x+k)}>\frac{1}{k(y+k)}$, suy ra $f_n(x)>f_n(y)$.

Do đó $f_n$ giảm ngặt trên $[0,+\infty )$, nên nghiệm dương $x_n$ nói trên là duy nhất.

b) Ta có $0<x_n<1$. Mặt khác, $f_n(x_n)=1$ và $f_n(1)=\frac{n}{n+1}$, nên
$$\frac{1}{n+1}=f_n(x_n)-f_n(1)=(1-x_n)\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+x_n)(k+1)}.$$

Vì $0<x_n<1$ nên ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k(k+x_n)(k+1)}\ge \frac{1}{2(1+x_n)}>\frac{1}{4}$.

Do đó $0<1-x_n<\frac{4}{n+1}$ hay $0<y_n=n^{1/2026}(1-x_n)<\frac{4n^{1/2026}}{n+1}$.

Vì thế theo nguyên lý kẹp, ta có ${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=0$.

Nhận xét: Trên thực tế, ta cũng có thể chứng minh được giới hạn ${\lim }_{n\to \infty }n(1-x_n)$ là hữu hạn và khác 0.