Đề Chọn Đội Tuyển HSG Quốc Gia THPT - Môn Toán (Ngày 1)

Bài 1. (6,0 điểm) Với mỗi số nguyên dương $n\ge 2$, xét phương trình
$$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2(x+2)}+\cdots +\frac{1}{n(x+n)}=1.$$
a) Chứng minh phương trình trên luôn có một nghiệm dương duy nhất $x_n$ với mỗi $n\ge 2$.
b) Đặt $y_n=n^{\frac{1}{2026}}(1-x_n),\forall n\ge 2$. Tính $\lim y_n$.

Bài 2. (7,0 điểm) Một số nguyên dương $n>1$ được gọi là "đẹp" nếu tồn tại các số nguyên dương đôi một phân biệt $d_1,d_2,...,d_k$ (với $k\ge 2$) sao cho $n=d_1{d}_2...d_k$ và $d_i^2\mid (n+3d_i)$, $\forall i=\overline{1,k}$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số nguyên dương "đẹp".
a) Giả sử $n\in S$ là số chính phương không chia hết cho 3, $n=d_1{d}_2...d_k$ và $d_i^2\mid (n+3d_i)$, $\forall i=\overline{1,k}$. Chứng minh các số $d_i$ $(i=1,2,...,k)$ đôi một nguyên tố cùng nhau và là các số chính phương.
b) Chứng minh tập hợp $S$ có vô hạn phần tử.

Bài 3. (7,0 điểm) Cho hình bình hành $ABCD$ có góc $A$ nhọn, hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $OBC$ tiếp xúc với $BC$ tại $E$.
a) Giả sử tam giác $ADE$ nhọn. Gọi $O_1,O_2,O_3$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $ABE$, $ADE$, $CDE$. Chứng minh trực tâm của tam giác $O_1{O}_2{O}_3$ nằm trên $AD$.
b) Lấy điểm $S$ khác $O$ sao cho $SA$ và $SD$ cùng tiếp xúc với $(I)$. Gọi $K$ là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác $SAD$. Chứng minh $OK$ đi qua trung điểm của $AD$.