a) Chứng minh phương trình $2x^3-6x+1=0$ có ít nhất ba nghiệm trên $\left[-2;2\right]$.

b) Gọi $(C)$ là đồ thị hàm số $y=\sqrt{1-x-x^2}$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết tiếp tuyến này song song với đường thẳng $x+2y=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 5a) Xét $f(x)=2x^3-6x+1$ liên tục trên $\left[-2;2\right]$. Ta có: $f(-2)=-16+12+1=-3<0$; $f(-1)=-2+6+1=5>0$; $f(0)=1>0$; $f(1)=2-6+1=-3<0$; $f(2)=16-12+1=5>0$. Vì $f$ liên tục và đổi dấu trên các khoảng $(-2;-1)$, $(-1;0)$, $(1;2)$ nên theo định lý giá trị trung gian, phương trình $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm trên mỗi khoảng đó. Vậy phương trình $2x^3-6x+1=0$ có ít nhất ba nghiệm thuộc $\left[-2;2\right]$.

Câu 5b) Hàm số $y=\sqrt{1-x-x^2}$ xác định khi $1-x-x^2\ge 0\iff x\in \left[-1;1\right]$. Tiếp tuyến song song với đường thẳng $x+2y=0$ (hệ số góc $-\frac{1}{2}$) nên $y^{\prime }=-\frac{1}{2}$.
Ta có $y^{\prime }=\frac{-1-2x}{2\sqrt{1-x-x^2}}$. Điều kiện $y^{\prime }=-\frac{1}{2}$ tương đương $\frac{-1-2x}{\sqrt{1-x-x^2}}=-1\iff -1-2x=-\sqrt{1-x-x^2}\iff 1+2x=\sqrt{1-x-x^2}$ (yêu cầu $1+2x\ge 0\iff x\ge -\frac{1}{2}$).
Bình phương: $(1+2x{)}^2=1-x-x^2\iff 4x^2+4x+1=1-x-x^2\iff 5x^2+5x=0\iff x=0$ hoặc $x=-1$.
Thử lại: với $x=-1$: $1+2(-1)=-1<0$ loại. Với $x=0$: $1=\sqrt{1}=1$ thỏa mãn. Khi đó $y=\sqrt{1}=1$, tiếp điểm $(0;1)$.
Phương trình tiếp tuyến: $y=1-\frac{1}{2}(x-0)\iff y=-\frac{1}{2}x+1$, hay $x+2y-2=0$.