(1,0 điểm) Cho hình chữ nhật $ABCD$ tâm $O$, cạnh $AB=8$ và $AD=6$. Xét điểm $M$ di động trên đường tròn tâm $O$ bán kính bằng 2 (như hình vẽ). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=2MA+5MC$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục tọa độ với gốc tại tâm $O$. Vì $AB=8$, $AD=6$ nên đường chéo $AC=\sqrt{8^2+6^2}=10$, do đó $OA=OC=5$. Chọn $A(4;3)$, $C(-4;-3)$. Điểm $M$ trên đường tròn tâm $O$ bán kính $2$: $M(2\cos \theta ;2\sin \theta )$.

Ta có:
$$M{A}^2=(2\cos \theta -4{)}^2+(2\sin \theta -3{)}^2=29-16\cos \theta -12\sin \theta ,$$
$$M{C}^2=(2\cos \theta +4{)}^2+(2\sin \theta +3{)}^2=29+16\cos \theta +12\sin \theta .$$

Đặt $u=16\cos \theta +12\sin \theta$, theo bất đẳng thức Cauchy–Schwarz $|u|\le \sqrt{16^2+12^2}=20$. Khi đó:
$$T=2\sqrt{29-u}+5\sqrt{29+u}=g(u),u\in [-20;20].$$

Xét đạo hàm: $g^{\prime }(u)=\frac{-1}{\sqrt{29-u}}+\frac{5}{2\sqrt{29+u}}$. Cho $g^{\prime }(u)=0$:
$$5\sqrt{29-u}=2\sqrt{29+u}\Rightarrow 25(29-u)=4(29+u)\Rightarrow u=\frac{609}{29}=21>20.$$

Vậy trên $[-20;20]$ hàm $g$ luôn tăng (điểm tới hạn nằm ngoài khoảng), nên $T$ đạt giá trị lớn nhất tại $u=20$:
$$T_{\max }=g(20)=2\sqrt{9}+5\sqrt{49}=2\cdot 3+5\cdot 7=6+35=41.$$

Dấu bằng xảy ra khi $\cos \theta =\frac{4}{5},\sin \theta =\frac{3}{5}$, tức $M$ nằm trên tia $OA$ với $OM=2$ (điểm $M$ thuộc đoạn $OA$, gần $A$ như trong hình vẽ). Khi đó $MA=3$, $MC=7$ và $T=2\cdot 3+5\cdot 7=41$.

Kết luận: Giá trị lớn nhất của $T=2MA+5MC$ là $\boxed{41}$, đạt được khi $M$ nằm trên đoạn $OA$ sao cho $OM=2$.