1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$, $A^{\prime }{C}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ).

Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình bình hành, $M$ là điểm thuộc cạnh $SA$ sao cho $SM=2MA$ (tham khảo hình vẽ). Mặt phẳng $(CDM)$ cắt cạnh $SB$ tại $N$. Tỉ số $\frac{SN}{SB}$ bằng

Cho hình lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình thang, $BC$ là đáy lớn và $BC=2AD$; các mặt bên là các hình chữ nhật; $A{A}^{\prime }=\sqrt{42}$, $C^{\prime }{D}^{\prime }=11$; $M$ là trung điểm của cạnh $C^{\prime }{D}^{\prime }$.

a) Tìm giao điểm của đường thẳng $A^{\prime }C$ với mặt phẳng $(BD{C}^{\prime })$.

b) Gọi $N$ là điểm nằm trên cạnh $C^{\prime }{D}^{\prime }$ thỏa mãn $D^{\prime }N=2C^{\prime }N$. Các điểm $I$, $K$ lần lượt thuộc các đường thẳng $B^{\prime }D$ và $A^{\prime }N$ sao cho hai đường thẳng $IK$ và $CM$ song song với nhau. Tính độ dài của đoạn thẳng $IK$.

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $\widehat{BAD}=60^{\circ }$, $AB=4$, $AD=3$; $O$ là tâm của hình hộp; $A_1$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$; $I$ là điểm thuộc đoạn thẳng $AO$ thỏa mãn $IO=2IA$. Mặt phẳng $(\alpha )$ thay đổi chứa đường thẳng $I{A}_1$ đồng thời cắt các cạnh $AB$, $AD$ lần lượt tại $B_1$, $D_1$ $(B_1\ne A$, $D_1\ne A)$. Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $A{B}_1{D}_1$.

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$, điểm $M$ thuộc cạnh $SC$ sao cho $SM=2MC$.
a) Tìm giao điểm $I$ của $AM$ và mặt phẳng $(SBD)$ và tính $\frac{AI}{AM}$.
b) Mặt phẳng $(P)$ chứa $AM$ và song song với $BD$. Xác định thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $(P)$.
c) Tính diện tích thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $(P)$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông cạnh bằng $a$, tâm $O$, $SA=SB=SC=SD=a$. Gọi $M$ là một điểm trên đoạn $OA$, $(\alpha )$ là mặt phẳng qua $M$ và song song với $AD$ và $SO$. Đặt $\frac{MA}{AO}=k(0<k<1)$.

a) Chứng minh thiết diện của hình chóp đã cho cắt bởi mặt phẳng $(\alpha )$ là hình thang cân.

b) Tính các cạnh của thiết diện theo $a,k$.

c) Tính diện tích thiết diện theo $a,k$.