Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SC$ (tham khảo hình bên dưới).

Đường thẳng $MN$ song song với mặt phẳng nào dưới đây?

Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và có một vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-1;3)$ là

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu tâm $I(2;-1;3)$, bán kính $R=3$ có phương trình là

Nghiệm của phương trình $\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=0$ là

Nếu ${\int }_0^{2}f(x)dx=-3$ và ${\int }_0^{2}g(x)dx=5$ thì ${\int }_0^2[f(x)-g(x)]dx$ bằng

Biểu thức $2{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)-1$ bằng

Xét các biến cố $A,B$ với $P(B)=\frac{8}{25}$ và $P(AB)=\frac{2}{25}$. Giá trị của $P(A\mid B)$ là

Cho hàm số $f(x)=x-x\ln x$.

Một công ty vận tải cần tối ưu tổng chi phí cho mỗi chuyến xe chạy quãng đường $200\text{ km}$. Biết rằng tổng chi phí gồm có $2$ phần: phần thứ nhất là chi phí vận hành $C_1(x)=\frac{10000}{x+2}$ (nghìn đồng), với $x\in (20;100)$ là tốc độ trung bình ($\text{km/h}$); phần thứ hai là chi phí bảo trì xe theo tốc độ $C_2(x)=\frac{2x^2+60x+1000}{x+2}$ (nghìn đồng) và tổng chi phí $C(x)=C_1(x)+C_2(x)$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét) xem mặt đất trùng với mặt phẳng $(Oxy)$, một thiết bị phát sóng liên lạc đặt tại vị trí $A(1;-2;6)$ có bán kính vùng phủ sóng $30\text{ m}$ và một người đứng ở vị trí $M(16;5;0)$.

Một trung tâm đào tạo thử nghiệm hai phương pháp học tập I và II trên một nhóm $30$ học viên. Sau mỗi phương pháp học tập, kết quả kiểm tra về điểm số được ghi nhận lại như bảng sau:



Các kết quả dưới đây làm tròn đến hàng phần chục.

Theo số liệu điều tra về sức khỏe của một nhóm bệnh nhân tại một bệnh viện, người ta ghi nhận được có $30\%$ bệnh nhân có hút thuốc lá. Số bệnh nhân bị viêm phổi trong những bệnh nhân có hút thuốc lá là $65\%$ và số bệnh nhân bị viêm phổi trong những bệnh nhân không hút thuốc lá là $20\%$. Chọn ngẫu nhiên $1$ người trong nhóm bệnh nhân trên. Tính xác suất để bệnh nhân được chọn có hút thuốc lá, biết rằng bệnh nhân đó không bị viêm phổi (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Bác Minh lên kế hoạch làm các hàng rào cho khu đất hình chữ nhật để bảo vệ cho rau trồng của mình. Bác rào $3$ mặt xung quanh và một hàng rào ở giữa chia đôi khu đất, để trống một mặt phía bờ sông (như hình minh họa). Biết rằng, chi phí để làm chiều dài hàng rào là $60$ nghìn đồng/mét, ba hàng rào theo chiều rộng còn lại có chi phí như nhau và bằng $50$ nghìn đồng/mét và tổng chi phí cho việc làm hàng rào là $15$ triệu đồng. Hỏi Bác Minh có thể rào được khu đất có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông?

Mặt cắt ngang phần nóc của một nhà kho có dạng đường parabol $(P)$. Người ta dự định lắp kính cho phần trước của nhà kho là miền giới hạn bởi $(P)$ và trục hoành (như minh họa trên mặt phẳng $Oxy$). Tính diện tích phần kính cần lắp vào (bỏ qua các mối ghép), biết rằng phần cần lắp kính có chiều cao $21\text{ m}$ và chiều rộng là $70\text{ m}$ (đơn vị diện tích là ${\text{m}}^2$).

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x+3}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$ và mặt phẳng $(P):x+y-z-4=0$. Gọi $d^{\prime }$ là đường thẳng nằm trong $(P)$ sao cho $d^{\prime }$ cắt và vuông góc với $d$. Biết rằng, đường thẳng $d^{\prime }$ có phương trình $\{\begin{array}{l}x=1+at\\ y=1+bt\\ z=-2+ct\end{array}$ ($t\in \mathbb{R}$ và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản). Tính giá trị của biểu thức $T=a+10b-c$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;3),B(5;-4;-1)$ và mặt phẳng $(P)$ chứa trục $Ox$ sao cho $d(B;(P))=2d(A;(P))$. Biết rằng, mặt phẳng $(P)$ có dạng $ax+7y+cz+d=0$ với $c\ne 0$. Tính giá trị của biểu thức $M=25(a+c+d)$.

Một cái sọt chứa quần áo có dạng hình chóp cụt tứ giác đều (tham khảo hình bên dưới). Biết rằng, cạnh đáy lớn bằng $2a$, cạnh đáy nhỏ bằng $a$ và cạnh bên bằng $3a$. Tính thể tích của cái sọt với $a=3\text{ dm}$ (đơn vị thể tích là ${\text{dm}}^3$, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).